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§ XVII.

Si l’on ne voulait pas adopter l’hypothèse que nous avons faite ci-dessus, que les forces $\mathrm {P}$ et $\mathrm {N}$ soient très-petites, il faudrait revenir aux équations générales du § X et en déduire des équations différentielles entre les forces $\mathrm {M,N}$ et $\mathrm {P}$ par une méthode analogue à celle du § VIII.

Pour cela on fera

$\mathrm {P} =p\cos q,\quad \mathrm {N} =p\sin q,\quad {\frac {\mathrm {M} ^{2}c^{2}}{4\mathrm {K} ^{2}}}+\mathrm {P} =pr,$

et, supposant ensuite

$(x\sin q+y\cos q){\frac {\sqrt {p}}{\mathrm {K} }}=\mathrm {X} ,\quad (x\cos q-y\sin q){\frac {\sqrt {p}}{\mathrm {K} }}=\mathrm {Y} ,\quad {\frac {s{\sqrt {p}}}{\mathrm {K} }}=\mathrm {Z} ,$

on trouvera, en ayant soin d’ajouter les constantes nécessaires pour que $x,y$ et $z$ s’évanouissent lorsque $\varphi =0,$ et faisant, pour plus de simplicité, $q+\varphi =u,$ on trouvera, dis-je, ces trois équations

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {X} }{2}}=&{\sqrt {r-\cos u}}-{\sqrt {r-\cos q}},\\d\mathrm {Y} =&{\frac {\cos udu}{\sqrt {r-\cos u}}}-{\frac {\cos qdq}{\sqrt {r-\cos q}}}\\&\quad \qquad \qquad -{\frac {dr}{1-r^{2}}}\left({\frac {r\mathrm {Y-Z} }{2}}-{\frac {r\sin u}{\sqrt {r-\cos u}}}+{\frac {r\sin q}{\sqrt {r-\cos q}}}\right),\\d\mathrm {Z} =&{\frac {du}{\sqrt {r-\cos u}}}-{\frac {dq}{\sqrt {r-\cos q}}}\\&\quad \qquad \qquad -{\frac {dr}{1-r^{2}}}\left({\frac {\mathrm {Y} -r\mathrm {Z} }{2}}-{\frac {\sin u}{\sqrt {r-\cos u}}}+{\frac {\sin q}{\sqrt {r-\cos q}}}\right),\end{aligned}}$

dans lesquelles on pourra faire $x=a,\ y=b,\ s=l$ et $\varphi =m,$ comme dans le paragraphe cité.