Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/107

d’où, en faisant encore

${\begin{aligned}\sigma =&{\frac {\sin ^{3}m(1-\cos m)}{2}}-{\frac {\sin m}{4}}\left(m+1-2\sin ^{2}m\right)\left({\frac {m\sin m}{2}}-1+\cos m\right)\\&-(1-\cos m)^{2}(\sin m\cos m+m)\\&+{\frac {m}{4}}\left(m^{2}-\sin ^{2}m\cos ^{2}m\right)-{\frac {\sin ^{2}m}{2}}(m-\sin m\cos m),\\\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&{\frac {\rho (t-u\cos m)-\mu u\sin m}{\sigma }},\\\mathrm {V} =&{\frac {\lambda u\sin m-\nu (t-u\cos m)}{\sigma }},\end{aligned}}$

et de là on trouvera aussi $\mathrm {R}$ par la première équation.

Ainsi, connaissant $\mathrm {R,T}$ et $\mathrm {V} ,$ on aura

$\mathrm {M} c=\mathrm {{\frac {2K^{2}T}{R}},\quad P={\frac {2K^{2}T}{R^{2}}},\quad N=M+Q={\frac {2K^{2}V}{R^{2}}}} .$

§ XIV.

Donc, si l’on suppose que $\mathrm {C} '$ (fig. 7, p. 104) soit le centre du tambour ou barillet dont le rayon soit $\mathrm {C'A} ,$ et que le ressort $\mathrm {CA}$ soit fixé par l’extrémité $\mathrm {C}$ d’une manière quelconque à l’axe du barillet, et que par l’autre extrémité $\mathrm {A}$ il soit fixement appliqué à la circonférence du barillet, en sorte que la courbe du ressort touche la circonférence du barillet au point $\mathrm {A} \,;$ nommant $\alpha$ l’angle parcouru par le barillet en tournant autour de son axe depuis la ligne fixe $\mathrm {CC} ',$ c’est-à-dire l’angle $\mathrm {AC'C} ,$ et faisant le rayon du barillet $\mathrm {AC} '$ égal à $r,$ la ligne $\mathrm {CC} '$ égale à $\rho$ et l’angle $\mathrm {C'CH}$ égal à $\mathrm {A} ,$ on aura

$m=\alpha -\mathrm {A} ,\quad q={\frac {\rho \sin \alpha }{\sin(\alpha -\mathrm {A} )}},\quad p=r+{\frac {\rho \sin \mathrm {A} }{\sin(\alpha -\mathrm {A} )}}.$

Ainsi, substituant ces valeurs dans les formules du paragraphe précédent, on trouvera la valeur de la force tangentielle $\mathrm {P}$ en $\alpha ,$ et de là on pourra déduire la figure de la fusée comme dans le § IX en faisant $\alpha ={\frac {\int yds}{ar}}$ et $y={\frac {g}{\mathrm {T} }}.$