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Donc, faisant les mêmes substitutions que dans le § II, on aura

$\mathrm {M} c+\mathrm {N} \int \cos \varphi ds+\mathrm {P} \int \sin \varphi ds={\frac {2\mathrm {K} ^{2}d\varphi }{ds}},$

de sorte que lorsque $\varphi =0,$ on aura ici

${\frac {2\mathrm {K} ^{2}d\varphi }{ds}}=\mathrm {M} c.$

Cette équation étant différentiée, et ensuite multipliée par ${\frac {d\varphi }{ds}}$ et intégrée de nouveau, donnera

$\mathrm {C-P} \cos \varphi +\mathrm {N} \sin \varphi ={\frac {\mathrm {K} ^{2}d\varphi ^{2}}{ds^{2}}},$

où la constante $\mathrm {C}$ doit être déterminée par la condition qu’en faisant $\varphi =0$ on ait ${\frac {d\varphi }{ds}}={\frac {\mathrm {M} c}{2\mathrm {K} ^{2}}}\,;$ ainsi l’on aura

$\mathrm {C=P} +{\frac {\mathrm {M} ^{2}c^{2}}{4\mathrm {K} ^{2}}}\,;$

donc

${\begin{aligned}ds=&{\frac {\mathrm {K} d\varphi }{\sqrt {{\dfrac {\mathrm {M} ^{2}c^{2}}{4\mathrm {K} ^{2}}}+\mathrm {P} (1-\cos \varphi )+\mathrm {N} \sin \varphi }}},\\dy=&{\frac {\mathrm {K} \sin \varphi d\varphi }{\sqrt {{\dfrac {\mathrm {M} ^{2}c^{2}}{4\mathrm {K} ^{2}}}+\mathrm {P} (1-\cos \varphi )+\mathrm {N} \sin \varphi }}},\\dx=&{\frac {\mathrm {K} \cos \varphi d\varphi }{\sqrt {{\dfrac {\mathrm {M} ^{2}c^{2}}{4\mathrm {K} ^{2}}}+\mathrm {P} (1-\cos \varphi )+\mathrm {N} \sin \varphi }}},\end{aligned}}$

équations qui ne diffèrent de celles du § II que par le terme constant ${\frac {\mathrm {M} ^{2}c^{2}}{4\mathrm {K} ^{2}}}.$

§ XI.

Si les quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {N}$ étaient nulles, c’est-à-dire si la force tangentielle s’évanouissait et que les deux forces perpendiculaires fussent égales entre elles et de direction contraire, alors la lame élastique prendrait la