De cette manière, la quantité dont il s’agit deviendra
![{\displaystyle x^{2}\left[\mathrm {C} x^{2}+(4\mathrm {C} \alpha +\mathrm {M} )x+6\mathrm {C} \alpha ^{2}+3\mathrm {M} \alpha +\mathrm {D} \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d673b5320610abfacddab8f4bc3c82f5017b4814)
ou bien, en remettant
pour ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle (p-\alpha )^{2}\left[\mathrm {C} p^{2}+(2\mathrm {C} \alpha +\mathrm {M} )p+3\mathrm {C} \alpha ^{2}+2\mathrm {M} \alpha +\mathrm {D} \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/104ebfe86dd60fc3a1d1aceed040ff4c7e4a7e26)
de sorte que l’on aura
![{\displaystyle \beta =2\mathrm {C} \alpha +\mathrm {M} \quad {\text{et}}\quad \gamma =3\mathrm {C} \alpha ^{2}+2\mathrm {M} \alpha +\mathrm {D} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2de03047e480e91ae08dc5da8db62f0f0c74c889)
On trouvera de la même manière les deux équations en
(Y)
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et ensuite
![{\displaystyle \mu =2\mathrm {C\lambda +N} ,\quad {\text{et}}\quad \nu =3\mathrm {C\lambda ^{2}+2N\lambda +D} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c132c4837a900e4367593093d313bc83755139b7)
XIII.
En faisant
et supposant que les deux équations (X) aient lieu en même temps, on aura
![{\displaystyle {\frac {dp}{\sqrt {\mathrm {C} p^{4}+\mathrm {M} p^{3}+\mathrm {D} p^{2}-\mathrm {M} f^{2}p+\mathrm {E} }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/524dd765cc9710fa7e65ec5763a127f9ec3a6b91)
![{\displaystyle ={\frac {dx}{x{\sqrt {\mathrm {C} x^{2}+(4\mathrm {C} \alpha +\mathrm {M} )x+6\mathrm {C} \alpha ^{2}+3\mathrm {M} \alpha +\mathrm {D} }}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be470a1d9d81a964e5ee7e4efc31dcf0d7c082b0)
supposons
infiniment petit, et le second membre de cette équation deviendra
![{\displaystyle {\frac {dx}{x{\sqrt {6\mathrm {C} \alpha ^{2}+3\mathrm {M} \alpha +\mathrm {D} }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/007144582cbe1348e110bdeb63d1e68acaba42af)
dont l’intégrale est
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {6\mathrm {C} \alpha ^{2}+3\mathrm {M} \alpha +\mathrm {D} }}}\log {\frac {x}{\mathrm {X} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99ff718dab92a2802176341edbf4f64f1fe29166)
étant une constante indéterminée.
Or, si l’on fait (ce qui est permis)
et que l’on suppose aussi
la quantité
deviendra
c’est-à-dire indéterminée ; d’où il s’ensuit