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donc, si l’on nomme a $le$ grand axe de l’orbite, on aura

$-\mathrm {\frac {A}{2C}} =a,\quad {\text{et par conséquent}}\quad \mathrm {C=-{\frac {A}{2a}}} ,$

de sorte que \l’on aura

$dt{\sqrt {2\mathrm {A} }}={\frac {rdr}{\sqrt {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}}}}-{\frac {sds}{\sqrt {s-{\cfrac {s^{2}}{a}}}}}.$

Donc, si $\mathrm {BC}$ (fig. 2) est une portion quelconque de la section conique décrite par le corps autour du foyer $\mathrm {A} ,$ le temps employé à parcourir

Fig. 2.

l’arc $\mathrm {BC}$ sera donné par la somme des deux rayons vecteurs $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {AC} ,$ par la corde $\mathrm {BC}$ et par le grand axe de la section ; car faisant $\mathrm {AB} =f,$ $\mathrm {AC} =u,$ on aura $\mathrm {BC} =v\,;$ donc

$r=\mathrm {\frac {AB+AC+BC}{2}} ,\qquad s=\mathrm {\frac {AB+AC-BC}{2}} ,$

et le temps cherché sera exprimé par

$\left(\int {\frac {rdr}{\sqrt {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}}}}-\int {\frac {sds}{\sqrt {s-{\cfrac {s^{2}}{a}}}}}s\right)\times {\frac {1}{\sqrt {2\mathrm {A} }}}.$

Au reste, ce théorème a déjà été démontré synthétiquement par M. Lambert dans son Traité sur les Orbites des comètes.