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pour le petit arc que le corps décrit dans le temps $dt$

${\sqrt {dr^{2}+ds^{2}+dr^{2}d\varphi ^{2}}}\,;$

de sorte qu’on aura

$dr^{2}+ds^{2}+dr^{2}d\varphi ^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\,;$

et, par conséquent,

$r^{2}d\varphi ^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-dr^{2}-ds^{2}.$

Fig. 1.

Or, en considérant le triangle $\mathrm {ABC} ,$ il est facile de trouver que

${\begin{aligned}s=&{\frac {u^{2}-v^{2}+f^{2}}{2f}},\\r=&{\frac {\sqrt {4f^{2}u^{2}-\left(u^{2}-v^{2}+f^{2}\right)^{2}}}{2f}},\\\end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}ds=&{\frac {udu-vdv}{f}},\\dr=&{\frac {2f^{2}udu-\left(u^{2}-v^{2}+f^{2}\right)(udu-vdv)}{f{\sqrt {4f^{2}u^{2}-\left(u^{2}-v^{2}+f^{2}\right)^{2}}}}}.\end{aligned}}$

Donc

$ds^{2}+dr^{2}={\frac {(udu-vdv)^{2}}{f^{2}}}+{\frac {\left[2f^{2}udu-\left(u^{2}-v^{2}+f^{2}\right)(udu-vdv)\right]^{2}}{f^{2}\left[4f^{2}u^{2}-\left(u^{2}-v^{2}+f^{2}\right)^{2}\right]}},$

ou, en réduisant au même dénominateur et effaçant ce qui se détruit,

$ds^{2}+dr^{2}={\frac {v^{2}\left[d\left(u^{2}\right)\right]^{2}+u^{2}\left[d\left(v^{2}\right)\right]^{2}-\left(u^{2}+v^{2}-f^{2}\right)d\left(u^{2}\right)d\left(v^{2}\right)}{4f^{2}u^{2}-\left(u^{2}-v^{2}+f^{2}\right)^{2}}}.$