Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/724

et l’on aura (abstraction faite des signes)

$u=34,\quad t=-3.34-21=-123.$

Maintenant, puisque

$\mathrm {E} _{8}=\mathrm {E} _{3},\quad {\text{et}}\quad \varepsilon _{8}=\varepsilon _{3},$

on aura ici

$\mu =3\quad {\text{et}}\quad \nu =5$

comme plus haut, de sorte que $n$ devra être pair ; or nous avons démontré (34) que les nombres $\mathrm {K} _{\nu }$ et $\mathrm {\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}}$ sont toujours les mêmes pour une même valeur de $\beta \,;$ donc on aura aussi dans le cas présent

$\mathrm {\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}} =5,\quad \mathrm {K} _{\nu }=18,$

comme plus haut ; donc, prenant maintenant pour $\mathrm {T}$ et $\mathrm {U}$ les premières valeurs de $t$ et de $u$ que nous venons de trouver, on aura, en général,

${\begin{aligned}t=&{\frac {\left(123+34{\sqrt {13}}\right)\left(18+5{\sqrt {13}}\right)^{n}+\left(123-34{\sqrt {13}}\right)\left(18-5{\sqrt {13}}\right)^{n}}{2}},\\u=&{\frac {\left(123+34{\sqrt {13}}\right)\left(18+5{\sqrt {13}}\right)^{n}-\left(123-34{\sqrt {13}}\right)\left(18-5{\sqrt {13}}\right)^{n}}{2{\sqrt {13}}}},\end{aligned}}$

et ces formules, combinées avec celles que nous avons trouvées plus haut, renfermeront nécessairement toutes les solutions possibles en nombres entiers de l’équation proposée.

Exemple III.

38. On propose de résoudre l’équation

$101=t^{2}-79u^{2}.$

Cette équation étant aussi dans le cas du n^o 32, on opérera comme on a fait dans l’exemple précédent. On commencera donc par chercher un nombre entier $\varepsilon$ moindre que ${\frac {101}{2}}$ et tel que $\varepsilon ^{2}-79$ soit divisible par $101.$