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même signe ; donc celui de ces deux termes qui sera moindre que sera nécessairement un des termes périodiques (n^o 41 des Additions citées) ; mais $\mathrm {E} _{\rho +1}=\pm 1$ (hypothèse), donc, etc. ; donc $\rho +1$ sera nécessairement égal à $\mu$ ou plus grand que $\mu .$

35. Second cas, lorsque $\mathrm {C^{2}-4BD} <0.$ — Ayant fait la substitution de $\theta u-\mathrm {A} y$ à la place de $t,$ comme dans le n^o 29, on aura à résoudre l’équation (K)

$\mathrm {P} u^{2}+\mathrm {Q} uy+\mathrm {R} y^{2}=1,$

qui sera telle, que l’équation

$\mathrm {P} x^{2}+\mathrm {Q} x+\mathrm {R} =z=0$

n’aura que des racines imaginaires (21) ; de sorte qu’on aura nécessairement le cas du n^o 20.

On fera donc l’équation

${\frac {dz}{dx}}=2\mathrm {P} x+\mathrm {Q} =0,$

laquelle donne

$x=-\mathrm {\frac {Q}{2P}} ,$

et comme l’équation

$z=0$

n’a que deux racines imaginaires, on sera sûr que la racine que nous venons de trouver portera nécessairement à un minimum. Or, substituant cette valeur de $x$ dans l’expression de $z,$ on aura

$z=\mathrm {\frac {4PR-Q^{2}}{4P}} \,;$

ce sera la plus petite valeur de $z$ que nous avons désigné dans le numéro cité par $\mathrm {Z} ,$ de sorte qu’en substituant les valeurs de $\mathrm {P,Q,R}$ du n^o 29, on aura

$\mathrm {Z} =\mathrm {\frac {4BD-C^{2}}{4{\cfrac {B\theta ^{2}+C\theta +D}{A}}}} ,$