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de sorte qu’on aura, en substituant pour $x_{\mu +1},x_{\mu +2},\ldots$ leurs valeurs,

$\mathrm {K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}={\frac {\varepsilon _{\mu +1}+{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +2}}}{\frac {\varepsilon _{\mu +2}+{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +3}}}\ldots {\frac {\varepsilon _{\mu +\nu }+{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +\nu +1}}}} \,;$

donc, prenant ${\sqrt {\beta }}$ en moins, ensuite multipliant ensemble les deux équations, on aura

$\mathrm {K_{\nu }^{2}-\beta \left({\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}}\right)^{2}={\frac {\varepsilon _{\mu +1}^{2}-\beta }{E_{\mu +2}^{2}}}{\frac {\varepsilon _{\mu +2}^{2}-\beta }{E_{\mu +3}^{2}}}\ldots {\frac {\varepsilon _{\mu +\nu }^{2}-\beta }{E_{\mu +\nu +1}^{2}}}} .$

Mais on a (n^o 33 des Additions citées).

$\beta =\varepsilon _{\mu +1}^{2}+\mathrm {E_{\mu +1}E_{\mu +2}=\varepsilon _{\mu +2}^{2}+E_{\mu +2}E_{\mu +3}} =\ldots .$

Donc, faisant ces substitutions et effaçant les quantités communes au numérateur et au dénominateur, il viendra

$\mathrm {K_{\nu }^{2}-\beta \left({\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}}\right)^{2}=(-1)^{\nu }{\frac {E_{\mu +1}}{E_{\mu +\nu +1}}}} =\pm 1.$

Cette démonstration a lieu, comme on voit, soit que, dans la série

$\mathrm {E_{\mu },\quad E_{\mu +1},\ldots ,\quad E_{\mu +\nu }} ,$

il se trouve un terme comme $\mathrm {E} _{\mu +\varpi }$ qui soit égal à l’unité ou non ; mais le cas où $\mathrm {E} _{\mu +\varpi }=\pm 1$ a de plus cette propriété que les nombres

$\mathrm {K_{\nu }\quad {\text{et}}\quad {\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}}}$

sont nécessairement entiers. Car, puisque

$x_{\mu +\nu +1}=x_{\mu +1},\quad x_{\mu +\nu +2}=x_{\mu +2},\ldots ,$

il est clair qu’on aura

$x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\nu }=x_{\mu +\varpi }x_{\mu +\varpi +1}\ldots x_{\mu +\varpi +\nu -1}.$