ayons démontré rigoureusement que le Problème est toujours nécessairement résoluble en nombres entiers (voyez le tome IV des Mémoires de Turin et le volume de l’année 1767 de ceux de cette Académie, p. 272)[1].
34. Scolie. — Il n’est pas inutile de remarquer que les quantités
et
qui entrent dans les expressions générales de
et
(31), sont toujours telles que
![{\displaystyle \mathrm {K_{\nu }^{2}-\beta \left({\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}}\right)^{2}} =\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4f066d5eb079f7d9e336504715fb7eba7b9ab0)
le signe supérieur ayant lieu lorsque
est pair, et l’inférieur lorsque
est impair.
Pour démontrer cette proposition dans toute sa généralité, il faut remonter aux formules du no 44 des Additions citées, et l’on verra que la quantité
![{\displaystyle \mathrm {K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/246158fc893a3441f3325a896fca51cd8bed255c)
n’est autre chose que la quantité
![{\displaystyle \mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a703e31576c1dc5015d239788babeb2df02524c)
dans laquelle on a substitué pour
sa valeur
![{\displaystyle {\frac {{\sqrt {\beta }}+\varepsilon _{\mu }}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf1df551ccf34b228fc60acb5e28d9a166e17554)
(on doit se souvenir que la quantité que nous nommons ici
est celle que nous avons nommée
dans l’endroit cité). Or la quantité
![{\displaystyle \mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/782ca735f4a95f40456a74b132360f867ed410a7)
est égale (no 25 des mêmes Additions) à
![{\displaystyle x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\nu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3e8f86d299aedf24440cbfa63d7d4fadc4bcdcc)
- ↑ Œuvres de Lagrange, t. I, p. 671, et t. II, p. 377.