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de $\varepsilon ,$ il est clair qu’elle pourra être également positive ou négative, mais il faudra la prendre telle, que

${\frac {\varepsilon +{\sqrt {\Delta }}}{\mathrm {E} _{1}}}={\frac {\mathrm {A} }{\varepsilon -{\sqrt {\Delta }}}}$

soit un nombre positif, en donnant au radical ${\sqrt {\Delta }}$ le signe positif ou négatif à volonté ; après quoi on fera le calcul suivant, où le signe $<$ dénote qu’il faut prendre le nombre entier qui est immédiatement au-dessous,

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} \ \ &=-\mathrm {A} ,\\\mathrm {E} _{1}&={\frac {\Delta -\varepsilon ^{2}}{\mathrm {E} }},\qquad &\lambda _{1}&<{\frac {\varepsilon +{\sqrt {\Delta }}}{\mathrm {E} }},\qquad &\varepsilon _{1}&=\lambda _{1}\mathrm {E} _{1}-\varepsilon ,\\\mathrm {E} _{2}&={\frac {\Delta -\varepsilon _{1}^{2}}{\mathrm {E} _{1}}},&\lambda _{2}&<{\frac {\varepsilon _{1}+{\sqrt {\Delta }}}{\mathrm {E} _{1}}},&\varepsilon _{2}&=\lambda _{2}\mathrm {E} _{2}-\varepsilon _{1},\\\mathrm {E} _{3}&={\frac {\Delta -\varepsilon _{2}^{2}}{\mathrm {E} _{2}}},&\lambda _{3}&<{\frac {\varepsilon _{2}+{\sqrt {\Delta }}}{\mathrm {E} _{2}}},&\varepsilon _{3}&=\lambda _{3}\mathrm {E} _{3}-\varepsilon _{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

et il suffira de pousser ces séries jusqu’à ce que deux termes correspondants $\mathrm {E} _{\mu },\varepsilon _{\mu }$ reviennent ensemble, en sorte qu’on ait, par exemple,

$\mathrm {E} _{\mu +\nu }=\mathrm {E} _{\mu }\quad {\text{et}}\quad \varepsilon _{\mu +\nu }=\varepsilon _{\mu },$

car alors on aura aussi

$\mathrm {E} _{\mu +\nu +1}=\mathrm {E} _{\mu +1},\quad \varepsilon _{\mu +\nu +1}=\varepsilon _{\mu +1},\quad \lambda _{\mu +\nu +1}=\lambda _{\mu +1},$

et ainsi de suite.

Or, si l’équation proposée est résoluble, on doit arriver à un terme de la première série, comme $\mathrm {E} _{\rho +1},$ lequel soit égal à $1$ si l’exposant $\rho +1$ est impair, et égal à $-1$ si cet exposant est pair ; alors on fera

${\begin{aligned}l_{0}&=1,\\l_{1}&=\lambda _{1},\\l_{2}&=\lambda _{2}l_{1}+1,\\l_{3}&=\lambda _{3}l_{2}+l_{1},\\l_{4}&=\lambda _{4}l_{3}+l_{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\l_{\rho }&=\lambda _{\rho }l_{\rho -1}+l_{\rho -2},\end{aligned}}$