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d’où, à cause de l’ambiguïté naturelle du signe de ${\sqrt {\beta }},$ il est aisé de tirer

${\begin{aligned}g_{\rho }=&{\frac {\left(\varphi +\psi {\sqrt {\beta }}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }+{\cfrac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}+\left(\varphi -\psi {\sqrt {\beta }}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }-{\cfrac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}}{2}},\\l_{\rho }=&{\frac {\left(\varphi +\psi {\sqrt {\beta }}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }+{\cfrac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}-\left(\varphi -\psi {\sqrt {\beta }}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }-{\cfrac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}}{2{\sqrt {\beta }}}}.\\\end{aligned}}$

Si l’on fait dans ces expressions $n=0,$ on aura

$g_{\rho }=\varphi \quad {\text{et}}\quad l_{\rho }=\psi \,;$

ainsi $\varphi$ et $\psi$ seront les premières valeurs de $g_{\rho }$ et $l_{\rho },$ de sorte que si l’on avait déjà trouvé ces valeurs de la manière que nous avons enseignée ci-dessus, on pourrait d’abord les prendre à la place de $\varphi$ et $\psi ,$ et alors il ne resterait plus qu’à trouver la valeur de $\mathrm {H} _{\nu },$ et de $\mathrm {K} _{\nu }.$ Au reste, pour pouvoir faire $n=0,$ il faut que $n$ puisse être un nombre pair ; or, c’est ce qu’on peut toujours supposer (30).

32. Corollaire III. — On peut déduire de là une méthode très-simple et très-élégante pour résoudre les équations de la forme

$\mathrm {A} =t^{2}-\Delta u^{2},$

$\Delta$ étant un nombre entier positif non carré, et $\mathrm {A}$ un nombre entier positif ou négatif.

Car ayant, dans ce cas,

$\mathrm {B=1,\quad C=0,\quad D} =-\Delta ,$

on fera

$\mathrm {E=-A,\quad \varepsilon =\theta ,\quad E_{1}={\frac {\theta ^{2}-\Delta }{A}}={\frac {\varepsilon ^{2}-\Delta }{A}},\quad \beta =\Delta } .$

Ainsi l’on commencera par chercher un nombre entiers moindre que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ lequel soit tel que $\varepsilon ^{2}-\Delta$ soit divisible par $\mathrm {A} ,$ et, si je n’en trouve aucun de cette qualité, on en conclura que la proposée n’est pas résoluble en nombres entiers. Supposons donc qu’on ait trouvé une valeur convenable