Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/703

quantité $z$ à la forme

$\mathrm {E} _{1}x^{2}-2\varepsilon x-\mathrm {E} ,$

en faisant

${\begin{aligned}\mathrm {E} \,\ =&-\mathrm {R=-AB} ,\\\mathrm {E} _{1}=&\mathrm {P} =\mathrm {\frac {B\theta ^{2}+C\theta +D}{A}} ,\\\varepsilon \ \ =&-\mathrm {{\frac {Q}{2}}=B\theta +{\frac {C}{2}}} ,\end{aligned}}$

en sorte que l’équation à résoudre soit

$\mathrm {E} _{1}x^{2}-2\varepsilon x-\mathrm {E} =z=0,$

sur quoi il faut remarquer que $\mathrm {E}$ et $\mathrm {E} _{1}$ seront toujours des nombres entiers, mais que $\varepsilon$ ne le sera que lorsque $\mathrm {C}$ sera divisible par $2\,;$ ainsi, pour que $\varepsilon$ soit aussi toujours entier, comme la méthode le demande, dans le cas où $\mathrm {C}$ sera un nombre impair, on aura soin de multiplier d’avance toute l’équation (I) par $2,$ ce qui ne la change point, c’est-à-dire qu’on mettra partout dans les formules précédentes $\mathrm {2A,2B,2C,}$$2\mathrm {D}$ à la place de $\mathrm {A,B,C,D} .$

Maintenant, comme l’équation

$z=0$

a les deux racines

$x={\frac {\varepsilon \pm {\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{1}}},$

en faisant

$\beta =\varepsilon ^{2}+\mathrm {EE_{1}=\left({\frac {C}{2}}\right)^{2}-BD}$

(je désigne ici par $\beta$ ce que j’ai appelé $\mathrm {B}$ dans l’endroit cité), il faudra les considérer successivement et faire la même opération sur l’une que sur l’autre.

Supposons que

${\frac {\varepsilon +{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{1}}}$

désigne en général une quelconque de ces deux racines (le radical ${\sqrt {\beta }}$