deux valeurs correspondantes de
et de
on pourra ensuite, par les formules du Corollaire précédent, trouver toutes les autres valeurs possibles.
4. Corollaire III. — Soit
le plus grand commun diviseur de
et
(on aura
si
et
sont premiers entre eux), en sorte que
et
étant premiers entre eux, il est clair qu’à cause de
premier à
(hypothèse) on aura nécessairement, dans l’équation
![{\displaystyle a=bp-cq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2577020823428f41f7dd8c3ec2a6ae616474d79e)
divisible par
donc, faisant
on aura
divisible par
si
est divisible par
mais, par un raisonnement semblable à celui du Lemme, on peut prouver que le nombre
peut toujours être pris tel que
soit divisible par
donc (Corollaire I) on pourra toujours trouver une valeur de
qui soit multiple de
soit donc
![{\displaystyle y=ar,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/316c541a5db11ca012e6de57b574cf0cb8402c01)
on aura
![{\displaystyle a=abr-cz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f35741c63babc1a1842824c305591d1dcd272f3a)
ou bien
![{\displaystyle a'=a'br-c'z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db7cbcd60cb6d5924530f2d712369a4267f17d7c)
donc
sera divisible par
et comme
est premier à
il faudra que
soit aussi multiple de
faisant donc
![{\displaystyle z=a's,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1cf5be9fceb77d09fd36949f9df8a520df6da85)
et divisant toute l’équation par
elle deviendra
![{\displaystyle 1=br-c's.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7150bd9eb97ef04193620be67dd1257d2a68d280)
Ainsi il n’y aura qu’à chercher les valeurs de
et de
qui peuvent satisfaire à cette équation, et l’on aura en général
![{\displaystyle y=ra+mc,\quad z=sa'+mb,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf7937780a56178cfd792e866b1d5f0e6f97dea2)
étant un nombre quelconque entier.