se trouvera la vraie valeur de
de sorte qu’il pourra être pris en toute sûreté pour la valeur approchée⅛ (68). Ainsi l’on pourra continuer l’approximation aussi loin qu’on voudra sans le moindre tâtonnement.
73. Puisque
![{\displaystyle a=t+t'+t''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e134c9e9625afd5960fadcee16bbd835e637ef97)
en substituant les valeurs de
(72), on aura
![{\displaystyle a=\pm {\frac {1}{\rho '^{2}}}\left({\frac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x}}+{\frac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'}}+{\frac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x''}}+\ldots \right)-{\frac {n\varpi '}{\rho '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c56a49df2dc9f1c194712ad7f045a87954b747)
Or, soit
![{\displaystyle x^{n}-\mathrm {A} x^{n-1}+\mathrm {B} x^{n-2}-\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab9be202e740e15f40ace3150692e440efc8e835)
l’équation proposée ; qu’on fasse le premier membre de cette équation égal à
et il est facile de voir par la théorie des équations que la quantité
deviendra, en y mettant
à la place de
après la différentiation,
![{\displaystyle {\frac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x}}+{\frac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'}}+{\frac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x''}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a51af36c637e6592de42fa97ac8454786df7a3)
à cause que
sont les différentes racines de l’équation
Donc on aura
![{\displaystyle a=\pm {\frac {1}{\rho '^{2}\mathrm {X} }}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}-{\frac {n\varpi '}{\rho '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/074b3c7fefd7863509a85ece6fbc040c9e138f6f)
et par conséquent la quantité
![{\displaystyle a+{\frac {(n-1)\varpi '}{\rho '}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb4e8581ae5ae6737f047dc509435831c3f41b17)
deviendra
![{\displaystyle \pm {\frac {1}{\rho '^{2}\mathrm {X} }}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}-{\frac {\varpi '}{\rho '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd105aba491754df7a83195175fcaa873f6785e4)
Donc, si l’on fait
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {n\rho ^{n-1}-(n-1)\mathrm {A} \rho ^{n-2}\rho '+(n-2)\mathrm {B} \rho ^{n-3}\rho '^{2}-\ldots }{\rho ^{n}-\mathrm {A} \rho ^{n-1}\rho '+\mathrm {B} \rho ^{n-2}\rho '^{2}-\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e40b6d46fa57bc748c0ec1d613a06f885525f7ca)