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de sorte que par toutes ces substitutions l’équation précédente deviendra

$\left[f-\mathrm {(M'-B')G} \right]\delta a+\mathrm {\left[M'-(M'-B')H\right]} \delta b-f\delta l-\mathrm {M} '\delta m=0,$

laquelle (à cause que la première courbe dont les ordonnées sont $a$ et $b$ est supposée indépendante de la dernière dont les ordonnées sont $l$ et $m$) peut d’abord se partager entre ces deux-ci :

$\left[f-\mathrm {(M'-B')G} \right]\delta a+\mathrm {\left[M'-(M'-B')H\right]} \delta b=0,\qquad f\delta l+\mathrm {M} '\delta m=0.$

Maintenant, comme les coordonnées $a$ et $b$ appartiennent à une courbe donnée, on aura, par la nature de ces courbes,

$\delta a=\varepsilon db\quad {\text{et}}\quad dl=\eta dm,$

et changeant la caractéristique $d$ en $\delta ,$ on aura aussi

$\delta a=\varepsilon \delta b\quad {\text{et}}\quad \delta l=\eta \delta m\,;$

donc, substituant ces valeurs dans les équations précédentes, on aura

$\left[f-\mathrm {(M'-B')G} \right]\varepsilon +\mathrm {M'-(M'-B')H} =0,\qquad f\eta +\mathrm {M} '=0\,;$

ou bien, en remettant pour $\varepsilon$ et $\eta$ leurs valeurs ${\frac {da}{db}},{\frac {dl}{dm}},$ on aura

$\left[f-\mathrm {(M'-B')G} \right]da+\mathrm {\left[M'-(M'-B')H\right]} db=0,\qquad fdl+\mathrm {M} 'dm=0.$

Maintenant, si l’on suppose que la hauteur $h$ qui répond à la vitesse initiale soit égale à $b,$ en sorte que le corps commence à se mouvoir sur la brachistochrone avec la même vitesse qu’il aurait acquise en descendant depuis l’axe des abscisses, on aura $\mathrm {G} =0$ et $\mathrm {H} =1,$ et les deux équations précédentes deviendront

$fda=\mathrm {B} 'db=0,\qquad fdl+\mathrm {M} 'dm=0\,;$

mais $f={\frac {dx}{uds}},\mathrm {B} '={\frac {dy}{uds}}$ au premier point de la courbe, et $\mathrm {M} '={\frac {dy}{uds}}$ au dernier point de la courbe ; donc on aura pour le premier point de la courbe

$dxda+dydb=0,\quad {\text{ou bien}}\quad {\frac {dx}{dy}}=-{\frac {db}{da}},$