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de sorte que pour la détermination de la variable $\xi$ on aura l’équation

$d{\frac {d\xi }{\pi }}=0,$

laquelle donne

${\frac {d\xi }{\pi }}=g,\quad {\text{et}}\quad \xi =h+g\int \pi ,$

$h$ et $g$ étant deux constantes arbitraires.

Or, il faut que $(\mathrm {P} '')=0,$ c’est-à-dire que la valeur de $\mathrm {P} '',$ qui répond au point où $x=l,y=m,\ldots ,$ soit nulle (Art. II) ; donc, puisque $\mathrm {P} ''={\frac {\xi }{\pi }},$ il faudra que la valeur de $\xi$ soit nulle dans ce cas ; soit donc $\Pi$ la valeur de $\int \pi$ qui répond au même endroit, et l’on aura

$h+g\Pi =0,$

d’où

$h=-g\Pi \,;$

donc

$\xi =g\left(\int \pi -\Pi \right),$

ou bien, en faisant pour plus de simplicité $g=-1,$

$\xi =\Pi -\int \pi \,;$

et de là

$\mathrm {P} '=-1,\qquad \mathrm {P} ''=-{\frac {\Pi -\int \pi }{\pi }}\,;$

ayant ainsi trouvé la valeur de $\xi$ il n’y aura qu’à la substituer, et l’on trouvera pour le maximum ou le minimum des formules analogues à celles de l’Article IX du Mémoire de 1762 déjà cité. On observera seulement que l’on aura ici, comme dans le cas du Problème précédent, $f=0,$ et par conséquent $\delta f=0\,;$ ensuite on aura

$\delta df=\delta d\varphi =\delta \mathrm {Z} ,$

en rapportant la valeur de $\delta \mathrm {Z}$ au point où $x=a,y=b,z=c,\ldots \,;$ mais