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la dernière fraction ${\frac {\gamma }{\gamma '}}$ est moindre que la vraie valeur de la fraction continue, les fractions dont il s’agit seront toutes plus petites que cette valeur, et seront en même Lemps convergentes vers cette même valeur.

On fera le même raisonnement par rapport à toutes les autres fractions principales, et si l’on ajoute à ces fractions les deux fractions ${\frac {0}{1}}$ et ${\frac {1}{0}},$ dont la première est toujours plus petite, et dont la seconde est plus grande que toute quantité donnée, on pourra former deux séries de fractions convergentes vers la valeur cherchée, dont l’une contiendra toutes les fractions plus petites que cette valeur, et dont l’autre contiendra toutes les fractions plus grandes que la même valeur.

Fractions plus petites.

${\frac {0}{1}},\qquad \qquad {\frac {1}{1}},\qquad \qquad {\frac {2}{1}},\qquad \quad {\frac {3}{1}},\ldots ,\quad \qquad \qquad {\frac {p}{1}},\qquad \left({\frac {\alpha }{\alpha '}}\right),$

${\begin{array}{rrrrr}{\cfrac {\beta +\alpha }{\beta '+\alpha '}},&\quad {\cfrac {2\beta +\alpha }{2\beta '+\alpha '}},&\quad {\cfrac {3\beta +\alpha }{3\beta '+\alpha '}},\ldots ,&\quad {\cfrac {r\beta +\alpha }{r\beta '+\alpha '}},&\quad \left({\cfrac {\gamma }{\gamma '}}\right),\\{\cfrac {\delta +\gamma }{\delta '+\gamma '}},&\quad {\cfrac {2\delta +\gamma }{2\delta '+\gamma '}},&\quad {\cfrac {3\delta +\gamma }{3\delta '+\gamma '}},\ldots ,&\quad {\cfrac {t\delta +\gamma }{t\delta '+\gamma '}},&\quad \left({\cfrac {\varepsilon }{\varepsilon '}}\right),\\\ldots \ldots ,&\ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots ,&\ldots .\ \ \end{array}}$

Fractions plus grandes.

${\frac {1}{0}},\quad {\frac {\alpha +1}{\alpha '+1}},\quad {\frac {2\alpha +1}{2\alpha '+1}},\quad {\frac {3\alpha +1}{3\alpha '+1}},\ldots ,\qquad {\frac {q\alpha +1}{q\alpha '+1}},\qquad \left({\frac {\beta }{\beta '}}\right),$

${\begin{array}{rrrrr}{\cfrac {\gamma +\beta }{\gamma '+\beta '}},&\quad {\cfrac {2\gamma +\beta }{2\gamma '+\beta '}},&\quad {\cfrac {3\gamma +\beta }{3\gamma '+\beta '}},\ldots ,&\quad {\cfrac {s\gamma +\beta }{s\gamma '+\beta '}},&\quad \left({\cfrac {\delta }{\delta '}}\right),\\\ldots \ldots ,&\ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots ,&\ldots .\ \ \end{array}}$

Quant à la nature de ces fractions, il est facile de prouver, comme nous l’avons fait par rapport aux fractions principales : 1^o que chacune de ces fractions sera déjà réduite à ses moindres termes ; d’où il s’ensuit que, comme les numérateurs et les dénominateurs vont en augmentant, ces