males ; cette valeur nessera qu’approchée, mais on pourra s’en servir pour en trouver une tau⅛plus exacte en faisant sur la seconde équation la même opération que sur la première, et ainsi de suite. De cette manière, on trouve à chaque opération de nouvelles décimales à ajouter ou à retrancher de la valeur de la racine déjà trouvée, et l’on a par conséquent cette racine d’autant plus exactement qu’on pousse le calcul plus loin.
On peut aussi, comme l’a pratiqué Halley, revenir toujours à la première équation proposée, en y substituant à la place de l’inconnue la valeur de la racine de plus en plus approchée et augmentée d’un reste inconnu, ce qui paraît en quelque façon plus simple et plus commode.
Telle est la méthode usitée pour résoudre les équations numériques par approximation. Plusieurs savants Géomètres se sont appliqués à la rendre encore plus exacte et plus facile, soit en ayant égard aux termes où l’inconnue est au second degré, soit en donnant des formules générales à l’aide desquelles, on puisse trouver sur-le-champ, la valeur de la fraction qui est le reste à ajouter à la racine approchée ; mais aucun d’eux ne paraît avoir fait attention aux inconvénients ou plutôt aux imperfections qui se trouvent encore dans cette méthode ; du moins personne, que je sache, n’a donné jusqu⅛ présent les moyens d’y remédier.
La première et la principale de ces imperfections consiste en ce qu’il faut supposer qu’on ait déjà trouvé la valeur de la racine cherchée, approchée jusqu’à sa dixième partie près ; car, comme on n’a point encore de règle générale et sûre pour trouver, dans une équation quelconque, la valeur approchée de chacune de ses racines réelles, la méthode dont il s’agit n’est proprement applicable qu’aux cas où l’on connaît d’avance à peu près la valeur de la racine qu’on cherche. Il est vrai que Rolle a donné une méthode, qu’on appelle des cascades, pour approcher des racines des équations numériques aussi près que l’on veut ; mais cette méthode n’est pas toujours sûre, surtout lorsqu’il y a dans l’équation des racines imaginaires, auquel cas elle laisse toujours en doute si ces racines sont réelles ou non. (Voyez l’Algèbre de Rolle, chap. III et VI du livre II.)
