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donc, en différentiant ${\biggl (}{\biggr .}$ pour faire disparaître le signe $\left.\int \right)$ l’équation

$\mathrm {Z} -d\varphi =0,$

laquelle, étant comparée à l’équation $\Phi =0,$ donnera

$\Phi =\mathrm {Z} -d\varphi ,$

et de là

$\delta \Phi =\delta \mathrm {Z} -\delta d\varphi .$

Soit

${\begin{alignedat}{3}\delta \mathrm {Z} &=q\delta x&+&q'\delta dx&+&q''\delta d^{2}x&+&\ldots \\&+r\delta y&+&r'\delta dy&+&r''\delta d^{2}y&+&\ldots \\&+s\delta z&+&s'\delta dz&+&s''\delta d^{2}z&+&\ldots \\\end{alignedat}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

et l’on aura pour $\delta \Phi$ la même expression que dans l’Artiele II, en faisant

$p=0,\quad p'=-1,\quad p''=0,\quad p'''=0,\ldots .$

Donc, on aura d’abord

$\mathrm {P} =-d\xi ,\quad \mathrm {P} '=\xi ,\quad \mathrm {P} ''=0,\quad \mathrm {P} '''=0,\ldots \,;$

donc, puisqu’il faut que la variable $\xi$ soit déterminée par l’équation $\mathrm {P} =0,$ on aura

$d\xi =0,$

et de là

$\xi =\mathrm {const} .,$

constante qu’on pourra prendre égale à l’unité pour plus de simplicité ; à l’égard des équations $\mathrm {(P'')=0,(P''')} =0,\ldots ,$ il est clair qu’elles auront lieu d’elles-mêmes ; à cause de $\mathrm {P} ''=0,\ldots .$ On mettra donc partout $1$ à la place de $\xi ,$ et l’on aura pour le maximum ou le minimum de la fonction $\varphi \,:$ 1^o l’équation variable (F) ; 2^o l’équation constante (G) (Art. III). Il faut remarquer, à l’égard de cette dernière équation, que, comme on a $\mathrm {P} '=\xi =1,\mathrm {P} ''=0,\ldots ,$ on aura $\mathrm {F'=1,F'=0,F''} =0,\ldots \,;$ de plus, comme la valeur de $\varphi$ est nulle lorsque l’intégrale $\int \mathrm {Z}$ commence, on aura $f=0,$ et par conséquent $\delta f=0,$ de sorte qu’il faudra effacer entièrement dans l’équation (G) tous les termes affectés de $\delta f,\delta df,\ldots .$