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par $\mathrm {F',F'',F'''} ,\ldots ,$ $\mathrm {A',A'',A'''} ,\ldots ,$ $\mathrm {B',B'',B'''} ,\ldots ,$ $\mathrm {C',C'',C'''} ,\ldots ,$ les valeurs de $\mathrm {P',P'',P'''} ,\ldots ,$ $\mathrm {Q',Q'',Q'''} ,\ldots ,$ $\mathrm {R',R'',R'''} ,\ldots ,$ $\mathrm {S',S'',S'''} ,$$\ldots ,$ au même endroit, et par $\mathrm {L',L'',L'''} ,\ldots ,$ $\mathrm {M',M'',M'''} ,\ldots ,$ $\mathrm {N',N'',N'''} ,$$\ldots ,$ les valeurs de $\mathrm {Q',Q'',Q'''} ,\ldots ,$ $\mathrm {R',R'',R'''} ,\ldots ,$ $\mathrm {S',S'',S'''} ,\ldots ,$ dans l’endroit où $x=l,y=m,z=n,\ldots ,$ on aura cette équation déterminée :

(G)

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {F} '\delta f+\mathrm {F} ''\delta df\,+\mathrm {F} '''\delta d^{2}f+\ldots \\+&\mathrm {A} '\delta a+\mathrm {A} ''\delta da+\mathrm {A} '''\delta d^{2}a+\ldots \\+&\mathrm {B} '\delta b\,+\mathrm {B} ''\delta db\,+\mathrm {B} '''\delta d^{2}b+\ldots \\+&\mathrm {C} '\delta c\,+\mathrm {C} ''\delta dc\,+\mathrm {C} '''\delta d^{2}c+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\-&\mathrm {L} '\delta l\,\ \ \ -\mathrm {L} ''\delta dl\ \ \ -\mathrm {L} '''\delta d^{2}l-\ldots \\-&\mathrm {M} '\delta m-\mathrm {M} ''\delta dm-\mathrm {M} '''\delta d^{2}m-\ldots \\-&\mathrm {N} '\delta n\ \ -\mathrm {N} ''\delta dn\ \ -\mathrm {N} '''\delta d^{2}n-\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0.\end{aligned}}\right.$

Pour faire usage de cette équation, on verra d’abord s’il y a par la nature du problème des relations données entre les quantités $f,a,b,c,\ldots ,$ $l,m,n,\ldots ,$ et leurs différentielles, et substituant là valeur d’une ou de plusieurs des différences de ces quantités affectées du signe $\delta ,$ tirée des relations données on égalera à zéro le coefficient de chacune de celles qui restent, et l’on aura autant de conditions qu’il faudra pour la solution complète du problème.

IV.

Nous avons vu plus haut que les valeurs de $\varphi ,d\varphi ,\ldots ,$ lorsque $x=a,y=b,\ldots ,$ c’est-à-dire les valeurs de doivent être supposées données ; or, si on les regarde comme données d’une manière indépendante des quantités $a,b,c,\ldots ,$ alors il est clair qu’on aura $\delta f=0,\delta df=0,\ldots \,;$ mais on peut supposer que ces quantités doivent être des fonctions données de $a,b,c,\ldots ,$ et de leurs différentielles ; en ce cas, on aura

$\delta f=\pi \delta a+\rho \delta b+\sigma \delta c+\ldots ,\qquad \delta df=\pi '\delta a+\rho '\delta b+\ldots ,$

et il faudra substituer ces valeurs dans l’équation (G).