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de la forme $\alpha ^{2}+7$ (n^o 20, Exemple I), et l’on trouvera

$109.23=50^{2}+7\,;$

de sorte que $\alpha =50.$ La valeur de $\alpha$ étant connue, on formera une suite d’équations analogues à celles du n^o 26, jusqu’à ce que l’on parvienne à un terme $\mathrm {A} _{n}=$ ou $<7,$ et l’on aura

${\begin{alignedat}{3}109.23=&50^{2}+7,&\alpha \ \ =&50,&\mathrm {A} _{1}=&23,\\23.\ \ 1=&\ \ 4^{2}+7,\qquad &\alpha _{1}=&-2\mathrm {A} _{1}+\alpha =4,\qquad &\mathrm {A} _{2}=&1=\mathrm {A} _{n},\end{alignedat}}$

ensuite

$p=p_{2}+2p_{1},\quad \mathrm {Q} =q_{2}+2q_{1},$

et comme on a trouvé $\mathrm {A} _{n}=1=\mathrm {A} _{2},$ on aura (27)

${\begin{alignedat}{2}&&p_{2}=&1,&q_{2}=&0,\\&&p_{1}=&\alpha _{1}=4,\qquad &q_{1}=&1.\\\mathrm {Donc} &\qquad \qquad \qquad \qquad &&\\&&p\ \ =&9,&q\ \ =&2.\end{alignedat}}$

Or, $109$ étant un nombre premier, il n’existe point d’autre nombre $\alpha$ qui ait les conditions requises (24) ; donc l’équation proposée n’est susceptible que d’une seule solution en nombres entiers, laquelle est $u=9$ et $t=2.$

Exemple II. — Soit proposée l’équation

$909=u^{2}+17t^{2},$

$u$ et $t$ devant être des nombres entiers.

Comme le nombre $909$ n’est pas premier, on verra d’abord s’il renferme quelque facteur carré ; or, $909=101.9,$ $101$ étant premier ; ainsi, on pourra faire (22) deux suppositions, savoir $u=p,$ $t=q,$ $\mathrm {A} =909,$ ce qui donnera l’équation

(A)

$909=p^{2}+17q^{2},$

ensuite $\rho =3,$ et par conséquent $u=3p,$ $t=3q,$ $\mathrm {A} =101,$ ce qui donnera cette autre équation

(B)

$101=p^{2}+17q^{2}.$