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on trouvera comme ci-dessus

$\mathrm {\left(R_{1}+S_{1}{\sqrt {B}}\right)} \left(\xi +\psi {\sqrt {\mathrm {B} }}\right)=r_{1}+s_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }},$

d’où

$r_{1}=\mathrm {R_{1}\xi +BS_{1}} \psi ,\quad s_{1}=\mathrm {R_{1}\psi +S_{1}} \xi$

Ces valeurs serviront (29) à trouver celles de $\rho$ et $\sigma$ dans l’équation

$\mp \mathrm {D} =\rho ^{2}-\mathrm {B} \sigma ^{2},$

comme nous le ferons voir ci-après (43).

39. Quoiqu’il soit facile de trouver les valeurs de $\mathrm {R,S,X}$ et $\mathrm {Y}$ par le développement des produits de $\left(\varepsilon +{\sqrt {\mathrm {B} }}\right),\ \left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right),\ldots ,$ voici une manière beaucoup plus simple et plus commode d’y parvenir.

On a, par les formules $(\lambda )$ du n^o 31,

$\varepsilon =\lambda _{1}\mathrm {E} _{1}-\varepsilon _{1},$

donc

$\varepsilon +\mathrm {{\sqrt {B}}=\lambda _{1}E_{1}+{\sqrt {B}}} -\varepsilon _{1}\,;$

donc

${\begin{aligned}\mathrm {\left(\varepsilon +{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)} =&\mathrm {\lambda _{1}E_{1}\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)+B-\varepsilon _{1}^{2}} \\&\mathrm {=\lambda _{1}E_{1}\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)+E_{1}E_{2}} ,\end{aligned}}$

à cause de $\mathrm {B-\varepsilon _{1}^{2}=E_{1}E_{2}} \,;$ savoir, en divisant par $\mathrm {E} _{1},$

$\mathrm {{\frac {\left(\varepsilon +{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)}{E_{1}}}=E_{2}+\lambda _{1}\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)} .$

De même, à cause de

$\varepsilon _{1}=\lambda _{2}\mathrm {E} _{2}-\varepsilon _{2},$

on aura

$\mathrm {E_{2}+\lambda _{1}\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)=\left(\lambda _{2}\lambda _{1}+1\right)E_{2}+\lambda _{1}\left({\sqrt {B}}-\varepsilon _{2}\right)} \,;$

donc, multipliant par $\varepsilon _{2}+{\sqrt {\mathrm {B} }},$ mettant $\mathrm {E_{2}E_{3}}$ à la place de $\mathrm {B} -\varepsilon _{2}^{2}$ et divisant ensuite par $\mathrm {E} _{2},$ on aura

$\mathrm {{\frac {\left(\varepsilon +{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{2}+{\sqrt {B}}\right)}{E_{1}E_{2}}}=\lambda _{1}E_{3}+\left(\lambda _{2}\lambda _{1}+1\right)\left(\varepsilon _{2}+{\sqrt {B}}\right)} .$