à l’infini ; de sorte que les tenues qui ne se trouveront point dans la première période ne se trouveront pas non plus dans tout le reste de la série continuée même à l’infini.
36. Donc, pour pouvoir résoudre l’équation
il ne s’agira que de continuer la série jusqu’à ce que les deux premiers termes reparaissent dans le même ordre, ce qui arrivera nécessairement avant qu’aucune autre couple de deux termes consécutifs puisse reparaître ; et si dans cette première période de la série il ne se trouve aucun terme égal à l’unité, on en devra conclure que cette équation n’admet point de solution en nombres entiers.
Mais si l’on trouve dans la première période un terme comme alors ce terme donnera d’abord une solution de l’équation proposée (34), pourvu que le quantième soit pair ou impair suivant que dans cette équation on prendra le signe supérieur ou l’inférieur. Si l’exposant du rang n’est pas tel, alors on continuera la série, et comme le terme doit reparaître dans les périodes suivantes, on verra s’il se trouve avec un exposant qui ait les conditions requises ; et alors ce nouveau terme donnera de même une solution de l’équation dont il s’agit ; ensuite, en continuant toujours la série, on pourra retrouver ce même terme autant de fois qu’on voudra, et par conséquent en tirer encore d’autres solutions à l’infini.
D’où l’on voit que si l’équation
admet une solution quelconque en nombres entiers, il faut aussi qu’elle en admette une infinité d’autres.
37. On a vu (33) que les séries et sont entièrement déterminées par les deux termes et parce que, et étant donnés, l’est aussi, et ainsi des autres ; d’où il s’ensuit que
