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au commencement de l’intégrale $\int \Psi ,$ et $\Delta$ la valeur de $\Pi$ qui répond à la fin de la même intégrale, on aura l’équation

$\Delta =\Gamma -\int \Psi .$

Maintenant, comme la quantité $\xi$ est encore à volonté, je la suppose telle que l’on ait $\mathrm {P} =0$ dans toute l’étendue de l’intégrale $\int \Psi \,;$ ce qui donne l’équation différentielle

$p\xi -d(p'\xi )+d^{2}(p''\xi )-d^{3}(p'''\xi )+\ldots =0.$

Or, la valeur de $\xi$ renfermera autantde constantes arbitraires qu’il y a de termes dans cette équation moins un ; et par conséquent autant qu’il y a, dans l’expression de $\Pi ,$ de termes qui contiennent $\delta \varphi$ et ses différences. Donc le nombre des constantes arbitraires de $\xi$ sera plus grand d’une unité que celui des quantités $\mathrm {P'',P'''} ,\ldots \,;$ donc on pourra toujours prendre ces constantes telles que l’on ait, dans la quantité $\Delta ,\ \mathrm {P} ''=0,\ \mathrm {P} '''=0,\ldots ,$ en sorte que les différences de $\delta \varphi$ disparaissent entièrement.

Donc, en général, si pour plus de simplicité on enferme entre des crochets carrés les quantités qui se rapportent au commencement de l’intégrale $\int \Psi ,$ et entre des crochets ronds celles qui se rapportent à la fin de cette même intégrale, on aura

(C)

$\left\{{\begin{aligned}(\mathrm {P} '\delta \varphi )=&\left[\mathrm {P} '\delta \varphi +\mathrm {P} ''d\delta \varphi +\mathrm {P} '''d^{2}\delta \varphi +\ldots \right.\\&+\mathrm {Q} '\delta x+\mathrm {Q} ''d\delta x+\mathrm {Q} '''d^{2}\delta x+\ldots \\&+\mathrm {R} '\delta y\,+\mathrm {R} ''d\delta y+\mathrm {R} '''d^{2}\delta y+\ldots \\&+\mathrm {S} '\delta z\,\ +\mathrm {S} ''d\delta z\,+\mathrm {S} '''d^{2}\delta z+\ldots \\&+\left.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right]\\-&\left(\mathrm {Q} '\delta x+\mathrm {Q} ''d\delta x+\mathrm {Q} '''d^{2}\delta x+\ldots \right.\\&+\mathrm {R} '\delta y\,+\mathrm {R} ''d\delta y+\mathrm {R} '''d^{2}\delta y+\ldots \\&+\mathrm {S} '\delta z\,\ +\mathrm {S} ''d\delta z\,+\mathrm {S} '''d^{2}\delta z+\ldots \\&+\left.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right)\\-&\int (\mathrm {Q} \delta x+\mathrm {R} \delta y+\mathrm {S} \delta z+\ldots ),\end{aligned}}\right.$