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et toute la difficulté sera maintenant réduite à tirer la valeur de $\delta \varphi$ de cette même équation.

Pour y parvenir d’une manière générale, je la multiplie par une indéterminée $\xi ,$ et je prends ensuite l’intégrale de chaque terme, ce qui me donne

${\begin{aligned}&\int p\xi \delta \varphi +\int p'\xi d\delta \varphi +\int p''\xi d^{2}\delta \varphi +\int p'''\xi d^{3}\delta \varphi +\ldots \\+&\int q\xi \delta x\,+\int q'\xi d\delta x\,+\int q''\xi d^{2}\delta x+\int q'''\xi d^{3}\delta x\ +\ldots \\+&\int r\xi \delta y\ +\int r'\xi d\delta y\ +\int r''\xi d^{2}\delta y\,+\int r'''\xi d^{3}\delta y\ +\ldots \\+&\int s\xi \delta z\ +\int s'\xi d\delta z\ +\int s''\xi d^{2}\delta z\ +\int s'''\xi d^{3}\delta z\ +\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =\mathrm {const} .\end{aligned}}$

Or, en intégrant par parties, on aura

${\begin{aligned}\int p'\ \xi d\,\delta \ \varphi =&p'\xi \delta \varphi -\int d(p'\xi )\delta \varphi ,\\\int p''\xi d^{2}\delta \varphi =&p''\xi d\delta \varphi -d(p''\xi )\delta \varphi +\int d^{2}(p''\xi )\delta \varphi ,\end{aligned}}$

et ainsi du reste ; donc, faisant ces substitutions dans l’équation précédente, et supposant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {P} \ \ \ &=p\,\ \ \xi -d(p'\xi )\ +d^{2}(p''\xi )-d^{3}(p'''\xi )+\ldots ,\\\mathrm {P} '\ \ &=p'\,\ \xi -d(p''\xi )\,+d^{2}(p''\xi )-\ldots ,\\\mathrm {P} ''\ &=p''\ \xi -d(p'''\xi )-\ldots ,\\\mathrm {P} '''&=p'''\xi -\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\mathrm {Q} \ \ \ &=q\,\ \ \xi -d(q'\xi )\ +d^{2}(q''\xi )-d^{3}(q'''\xi )+\ldots ,\\\mathrm {Q} '\ \ &=q'\,\ \xi -d(q''\xi )\,+d^{2}(q''\xi )-\ldots ,\\\mathrm {Q} ''\ &=q''\ \xi -d(q'''\xi )-\ldots ,\\\mathrm {Q} '''&=q'''\xi -\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}$