II.
Quoique la méthode donnée dans le tome II des Miscellanea Taurinensia suffise pour trouver la variation de toute fonction composée d’un nombre quelconque de variables, et contenant autant de signes d’intégration qu’on voudra, voici comment elle peut encore être généralisée et simplifiée à quelques égards.
Soit
la fonction dont on propose de trouver la variation
et supposons que cette fonction
soit donnée par une équation différentielle d’un degré quelconque entre
et
et les différentielles de ces variables. Dénotons cette équation par
et différentiant par
on aura
or, comme
est une fonction donnée de ![{\displaystyle \varphi ,x,y,z,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35fb1e438af21d06064ee035ed9c8329bc91ec28)
on différentiera cette fonction en regardant chacune des quantités
comme une variable particulière, et marquant les différences par
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \Phi &=p\delta \varphi +p'\delta d\varphi +p''\delta d^{2}\varphi +p'''\delta d^{3}\varphi +\ldots \\&+q\delta x\ +q'\delta dx\,+q''\delta d^{2}x\,+q'''\delta d^{3}x+\ldots \\&+r\delta y\,\ +r'\delta dy\,+r''\delta d^{2}y\ +r'''\delta d^{3}y\,+\ldots \\&+s\delta z\,\ +s'\delta dz\,+s''\delta d^{2}z\ +s'''\delta d^{3}z\ +\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b9010b3805903d3ec983f3aaed3702da1561674)
où
seront des fonctions données de ![{\displaystyle \varphi ,x,y,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d182715443b173d8b28450494db5bcf494f8464d)
![{\displaystyle d\varphi ,dx,dy,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e599b8bce8976a34ce56f7d6c8caace38e95655c)
Maintenant il est assez facile de voir que
sera la même chose que
la même chose que
et ainsi des autres expressions semblables ; d’où il s’ensuit que l’équation précédente pourra toujours se mettre sous cette forme :
(A)
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