donc on aura enfin pour l’équation de condition
(L)
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Quoique cette équation ne soit qu’un cas particulier de l’équation (K), elle est cependant en quelque sorte plus générale que celle que nous avons trouvée par la méthode du no 15.
22. Si l’on fait, comme dans le no 16,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} =&\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}+\zeta x^{5}+\eta x^{6}+\theta x^{7}+\lambda x^{8}+\ldots ,\\\mathrm {Y} =&\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}+\zeta y^{5}+\eta y^{6}+\theta y^{7}+\lambda y^{8}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b3e7495bea6b6c56e2a02c2eb82542de8fec5d3)
on trouvera que l’on peut satisfaire à l’équation (L) dans les cas suivants :
1o En faisant
![{\displaystyle \mathrm {P} =1,\qquad \mathrm {Q} =1,\qquad \Sigma (x-y)={\frac {1}{x-y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa9b99ef04280f4479c94dd741a044823e9b5ce9)
![{\displaystyle 2\int \Phi (\mathrm {Z} )d\mathrm {Z} =\beta +\gamma \mathrm {Z+{\frac {\delta Z^{2}}{2}}+{\frac {\varepsilon Z^{3}}{3}}} ,\quad {\text{à cause de}}\quad \mathrm {Z} =x+y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/682916ff3b6cb2ae499e282ec6b306b797263880)
![{\displaystyle \Gamma (x)={\frac {\delta x^{2}}{2}}+{\frac {2\varepsilon x^{3}}{3}},\qquad \Delta (y)={\frac {\delta y^{2}}{2}}+{\frac {2\varepsilon y^{3}}{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee217c2d1d6edaa0d2a78387ee20340dacd08ee5)
et
![{\displaystyle \zeta =0,\qquad \eta =0,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5b5f1cfed980351a1d12b348b45157ee0eff598)
c’est le cas que nous avons résolu dans le même numéro.
2o En faisant
![{\displaystyle \mathrm {P} =x,\qquad \mathrm {Q} =y,\qquad \Sigma \left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {y^{2}}{2}}\right)={\frac {1}{x^{2}-y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/befc71f4d9ab7d939e600813efd3f62448fa0d0d)
![{\displaystyle 2\int \Phi (\mathrm {Z} )d\mathrm {Z} =\alpha +2\gamma \mathrm {Z+2\varepsilon Z^{2}+{\frac {8\eta Z^{3}}{3}}} ,\ {\text{à cause de}}\ \mathrm {Z} ={\frac {x^{2}+y^{2}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ce708a05e719397f73905b3892527d327c4af5b)
![{\displaystyle \Gamma (x)=-{\frac {\varepsilon x^{4}}{2}}+{\frac {2\eta x^{6}}{3}},\qquad \Delta (y)={\frac {\varepsilon y}{2}}+{\frac {2\eta y^{6}}{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deebd581ee5b0bdf18a76a017af734f6feeb896e)
et
![{\displaystyle \beta =0,\quad \delta =0,\quad \zeta =0,\quad ,\theta =0,\quad \lambda =0,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0ac653b668aede409d0b0d08297c38e8c9db624)