Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/30

et

(I)

${\frac {1}{2}}\mathrm {P} {\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {X}{T^{2}}} \right)}{dx}}+\mathrm {\frac {X}{T^{2}}} {\frac {d\mathrm {P} }{dx}}dt^{2}+{\frac {1}{2}}\mathrm {Q} {\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {Y}{T^{2}}} \right)}{dy}}+\mathrm {\frac {Y}{T^{2}}} {\frac {d\mathrm {Q} }{dy}}=\varphi (\mathrm {Z} ),$

on aura l’équation

${\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt^{2}}}=\varphi (\mathrm {Z} ),$

laquelle, étant multipliée par $2d\mathrm {Z}$ et ensuite intégrée, donnera

$\left({\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}\right)^{2}=\mathrm {G} ^{2}+2\int \varphi (\mathrm {Z} )d\mathrm {Z} ,$

et par conséquent

${\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}={\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+2\int \varphi (\mathrm {Z} )d\mathrm {Z} }}\,;$

mais

${\frac {d\mathrm {\mathrm {Z} } }{dt}}={\frac {\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy}{dt}}=\mathrm {\frac {P{\sqrt {X}}+Q{\sqrt {Y}}}{T}} \,;$

donc en faisant

$\int \varphi (\mathrm {Z} )d\mathrm {Z} =\Phi (\mathrm {Z} ),$

l’intégrale de l’équation ${\frac {dx}{\sqrt {X}}}={\frac {dy}{\sqrt {Y}}}$ sera

$\mathrm {P{\sqrt {X}}+Q{\sqrt {Y}}=T{\sqrt {G^{2}+2\int \Phi (Z)}}} ,$

$\mathrm {G} ^{2}$ étant la constante arbitraire.

20. Toute la difficulté se réduit donc à déterminer les quantités $\mathrm {T}$ et $\mathrm {Z} ,$ en sorte que les équations (H) et (I) aient lieu.

Si l’on fait $\log \mathrm {T} =u,$ l’équation (H) deviendra

$\mathrm {P} {\frac {du}{dy}}+\mathrm {Q} {\frac {du}{dx}}=2{\frac {d\mathrm {P} }{dy}},$

d’où l’on tire

${\frac {du}{dy}}={\frac {2}{\mathrm {P} }}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}-\mathrm {\frac {Q}{P}} {\frac {du}{dx}},$

de sorte qu’on aura

$du={\frac {du}{dx}}dx+{\frac {du}{dy}}dy={\frac {2}{\mathrm {P} }}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}dy+\left(dx-{\frac {\mathrm {Q} dy}{\mathrm {P} }}\right){\frac {du}{dx}}.$