une constante quelconque
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (p+q)=&a+b\cos \left[m(p+q)+\beta +\alpha \right]+c\cos 2\left[m(p+q)+\gamma +\alpha \right],\\\Psi (p-q)=&a+b\cos \left[m(p-q)+\beta -\alpha \right]+c\cos 2\left[m(p-q)+\gamma -\alpha \right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e7464fc4ea8d7321ec2e43e71585bcd3cca1744)
donc, en mettant
à la place de
à la place de
et
à la place de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} =&a+b\cos(nx+\beta +\alpha )+c\cos 2(nx+\gamma +\alpha ),\\\mathrm {Y} =&a+b\cos(ny+\beta -\alpha )+c\cos 2(ny+\gamma -\alpha ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20027d35b2b1f071b6393864dc102ef34c324016)
Ce sont, ce me semble, les valeurs les plus générales que l’on puisse donner aux quantités
et
pour que l’équation
soit intégrable par notre méthode ; et l’intégrale sera
![{\displaystyle \mathrm {{\sqrt {X}}+{\sqrt {Y}}=A} \sin(mq+\alpha ){\sqrt {\mathrm {G} ^{2}-{\frac {\mathrm {C} }{m}}\cos 2(mp+\gamma )}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98651cc97da5b4b7f9bd9c21759425a6d3e4233e)
ou bien, en mettant
au lieu de
et faisant ![{\displaystyle \mathrm {G^{2}={\frac {H^{2}}{A^{2}}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad0aa87280123ef40ff2fbefb3324c83a7e13c10)
![{\displaystyle \mathrm {{\sqrt {X}}+{\sqrt {Y}}} =\sin \left[{\frac {n(x-y)}{2}}+\alpha \right]{\sqrt {H^{2}-2c\cos \left[n(x+y)+2\gamma \right]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/425bf9330b15684f5002d996c3e3e6ac1226ccb6)
18. Soit fait
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos nx+\sin nx{\sqrt {-1}}=&u,\\\cos ny+\sin ny{\sqrt {-1}}=&v,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f225de69b1a51d8a3e9e0c373cc3c704fd54dae8)
on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\cos nx\ \ =&{\frac {1+u^{2}}{2u}},&\sin nx\ \ =&{\frac {1-u^{2}}{2u}}{\sqrt {-1}},\\\cos 2nx=&{\frac {1+u^{4}}{2u^{2}}},\qquad &\sin 2nx=&{\frac {1-u^{4}}{2u^{2}}}{\sqrt {-1}},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/922c62ec106e6d082a7456e787be89ef67b2b574)
et de même
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\cos ny\ \ =&{\frac {1+v^{2}}{2v}},&\sin ny\ \ =&{\frac {1-v^{2}}{2v}}{\sqrt {-1}},\\\cos 2ny=&{\frac {1+v^{4}}{2v^{2}}},\qquad &\sin 2ny=&{\frac {1-v^{4}}{2v^{2}}}{\sqrt {-1}},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91fdc65a45cc4225639a8258b82907649aecb638)