SUR UNE
NOUVELLE MÉTHODE DE CALCUL INTÉGRAL
POUR LES DIFFÉRENTIELLES AFFECTÉES D’UN RADICAL CARRÉ
SOUS LEQUEL LA VARIABLE NE PASSE PAS
LE QUATRIÈME DEGRÉ.
On sait que toute formule différentielle qui contient un radical carré, où la variable n’a pas plus de deux dimensions, est intégrable par les logarithmes ou par les arcs circulaires ; car il est toujours possible de la réduire à une forme rationnelle, en faisant disparaître le radical par une substitution convenable. Mais cette réduction ne réussit plus en général, lorsque le radical contient des puissances de la variable plus hautes que la seconde, et l’intégration échappe alors aux méthodes connues. Si la plus haute de ces puissances ne monte pas au delà du quatrième degré, on peut dans plusieurs cas construire l’intégrale par les arcs des sections coniques. La recherche de ces cas a beaucoup occupé les Géomètres ; leur travail est avantageux aux progrès du Calcul intégral, parce qu’il sert à ramener à des classes déterminées un grand nombre de différentielles de formes différentes ; mais il n’est d’aucune utilité pour l’intégration effective de ces différentielles, car la rectification des sections coniques n’est encore connue que très-imparfaitement, attendu le peu de convergence des séries qu’on a trouvé jusqu’ici pour cet objet. Les séries sont à la vérité le seul moven de résoudre ce Problème, et en général de rappeler à l’intégration toutes les formules différentielles d’une forme
