étant un coefficient constant quelconque, d’où l’on a, en intégrant,
![{\displaystyle \mathrm {Q=A} \sin(mq+\alpha ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991b52d1e348b8f10a39c6a8d7c0aed3c5f236df)
et
étant aussi des constantes quelconques, et par conséquent, en intégrant de nouveau,
![{\displaystyle \int \mathrm {Q} dq=-{\frac {\mathrm {A} }{m}}\cos(mq+\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/716097198c772529dc489d7daf04d1f367a4efc6)
et
![{\displaystyle \mathrm {Q} \int \mathrm {Q} dq=-{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{2m}}\sin 2(mq+\alpha )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cce370866d7038d1b2b6b77b4c7e53d12696d910)
de sorte que l’équation précédente deviendra
![{\displaystyle \mathrm {A} \sin(mq+\alpha )\left[\psi ''(p)+m^{2}\psi (p)\right]-{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{2m}}\sin 2(mq+\alpha )\left[\varphi ''(p)+4m^{2}\varphi (p)\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4843e19bf64a0afdfa414388dec9e03a3a76e155)
laquelle devant être vraie, indépendamment d’aucune équation entre
et
il faudra que l’on ait
![{\displaystyle \psi ''(p)+m^{2}\psi (p)=0,\qquad \varphi ''(p)+4m^{2}\varphi (p)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d04690670db093fe887aa7a0336ef162b9190f0)
ce qui donne, en prenant des constantes quelconques
et ![{\displaystyle \mathrm {C} ,\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae50bc38e23562f7e2dfbd4326c65c8f7eae7702)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (p)=&\mathrm {B} \sin(mp+\beta ),\\\varphi (p)=&\mathrm {C} \sin(mp+\gamma ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33be9477096022ddf39d690cce8af9779530fd6d)
Substituant donc toutes ces valeurs dans l’équation de condition trouvée ci-dessus, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi &(p+q)-\Psi (p-q)\\&=\mathrm {AB} \sin(mp+\beta )\sin(mq+\alpha )-{\frac {\mathrm {A^{2}C} }{2m}}\sin 2(mp+\gamma )\sin 2(mq+\alpha )\\&\qquad -\mathrm {\frac {AB}{2}} \left\{\cos \left[m(p+q)+\beta +\alpha \right]-\cos \left[m(p-q)+\beta -\alpha \right]\right\}\\&\qquad +{\frac {\mathrm {A^{2}C} }{2m}}\left\{\cos 2\left[m(p+q)+\gamma +\alpha \right]-\cos 2\left[m(p-q)+\gamma -\alpha \right]\right\}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bb5eafc75a6f93bb34d78745a1ffed450ffa3a1)
Donc, faisant pour plus de simplicité
et prenant