ait lieu, et supposons d’abord que ces quantités soient de la forme suivante :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} =&\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}+\zeta x^{5}+\eta x^{6}+\ldots ,\\\mathrm {Y} =&\alpha +\beta y+\gamma y^{2}\,+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}\,+\zeta y^{5}+\eta y^{6}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e49083ef0be8c10ca9f3f9e596dca9d9a5b5e524)
en sorte que l’on ait
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X-Y} =&\beta (x-y)+\gamma \left(x^{2}-y^{2}\right)+\delta \left(x^{3}-y^{3}\right)+\varepsilon \left(x^{4}-y^{4}\right)\\&+\zeta \left(x^{5}-y^{5}\right)+\eta \left(x^{6}-y^{6}\right)+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b861cf2056d87f23ca3b6ff81e203530c883d132)
en faisant
c’est-à-dire
![{\displaystyle x={\frac {p+q}{2}},\qquad y={\frac {p-q}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0428535d777b4c3111f8ba0100122afeaa9afbc1)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X-Y} =&\beta q+\gamma pq+{\frac {\delta }{4}}\left(3p^{2}+q^{2}\right)q+{\frac {\varepsilon }{8}}\left(4p^{3}+4pq^{2}\right)q\\&+{\frac {\zeta }{16}}\left(5p^{4}+10p^{2}q^{2}+q^{4}\right)q+{\frac {\eta }{32}}\left(6p^{5}+20p^{3}q^{2}+6pq^{4}\right)q+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a03fd8390f5ca300c15a85f3972f7357304fb53e)
et comme cette quantité doit être égale, ou plutôt identique avec la quantité
dans laquelle
est une fonction de
seulement, il est visible qu’il faut :
1o Que l’on ait
ce qui donne
![{\displaystyle \int \mathrm {Q} dq={\frac {1}{2}}q^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/633f45dc35e76ee8ccc214caa120bc4d09c2f55e)
2o Que l’on ait
![{\displaystyle \beta +\gamma p+{\frac {3\delta p^{2}}{4}}+{\frac {4\varepsilon p^{3}}{8}}+{\frac {5\zeta p^{4}}{16}}+{\frac {6\eta p^{5}}{32}}+\ldots =\psi (p),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8f16060267352a39998d5175d46374f5f718dcd)
![{\displaystyle \left({\frac {\delta }{4}}+{\frac {4\varepsilon p}{8}}+{\frac {10\zeta p^{2}}{16}}+{\frac {20\eta p^{3}}{32}}+\ldots \right)q^{2}={\frac {q^{2}\varphi (p)}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17bb447ac1ce581cc7a3ce89a94e985c33b9aef4)
![{\displaystyle \left({\frac {\zeta }{16}}+{\frac {6\eta p}{32}}+\ldots \right)q^{4}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94413b5f66acb2bd5be51bc08ff79e2ea3adf763)
c’est-à-dire
![{\displaystyle \zeta =0,\qquad \eta =0,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcef05cabb8b6b8770faf6bd141988d19f1298d2)
et par conséquent
![{\displaystyle \psi (p)=\beta +\gamma p+{\frac {3\delta p^{2}}{4}}+{\frac {4\varepsilon p^{3}}{8}},\qquad \varphi (p)={\frac {\delta }{2}}+\varepsilon p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f86033f9316ab510d1742c7984123e4b0928ea3)