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ait lieu, et supposons d’abord que ces quantités soient de la forme suivante :

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}+\zeta x^{5}+\eta x^{6}+\ldots ,\\\mathrm {Y} =&\alpha +\beta y+\gamma y^{2}\,+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}\,+\zeta y^{5}+\eta y^{6}+\ldots ,\end{aligned}}$

en sorte que l’on ait

${\begin{aligned}\mathrm {X-Y} =&\beta (x-y)+\gamma \left(x^{2}-y^{2}\right)+\delta \left(x^{3}-y^{3}\right)+\varepsilon \left(x^{4}-y^{4}\right)\\&+\zeta \left(x^{5}-y^{5}\right)+\eta \left(x^{6}-y^{6}\right)+\ldots \,;\end{aligned}}$

en faisant $x+y=p,\ x-y=q,$ c’est-à-dire

$x={\frac {p+q}{2}},\qquad y={\frac {p-q}{2}},$

on aura

${\begin{aligned}\mathrm {X-Y} =&\beta q+\gamma pq+{\frac {\delta }{4}}\left(3p^{2}+q^{2}\right)q+{\frac {\varepsilon }{8}}\left(4p^{3}+4pq^{2}\right)q\\&+{\frac {\zeta }{16}}\left(5p^{4}+10p^{2}q^{2}+q^{4}\right)q+{\frac {\eta }{32}}\left(6p^{5}+20p^{3}q^{2}+6pq^{4}\right)q+\ldots ,\end{aligned}}$

et comme cette quantité doit être égale, ou plutôt identique avec la quantité $\mathrm {Q} \left[\varphi (p)\int \mathrm {Q} dq+\psi (p)\right],$ dans laquelle $\mathrm {Q}$ est une fonction de $q$ seulement, il est visible qu’il faut :

1^o Que l’on ait $\mathrm {Q} =q,$ ce qui donne

$\int \mathrm {Q} dq={\frac {1}{2}}q^{2}\,;$

2^o Que l’on ait

$\beta +\gamma p+{\frac {3\delta p^{2}}{4}}+{\frac {4\varepsilon p^{3}}{8}}+{\frac {5\zeta p^{4}}{16}}+{\frac {6\eta p^{5}}{32}}+\ldots =\psi (p),$

$\left({\frac {\delta }{4}}+{\frac {4\varepsilon p}{8}}+{\frac {10\zeta p^{2}}{16}}+{\frac {20\eta p^{3}}{32}}+\ldots \right)q^{2}={\frac {q^{2}\varphi (p)}{2}},$

$\left({\frac {\zeta }{16}}+{\frac {6\eta p}{32}}+\ldots \right)q^{4}=0,$

c’est-à-dire

$\zeta =0,\qquad \eta =0,\ldots ,$

et par conséquent

$\psi (p)=\beta +\gamma p+{\frac {3\delta p^{2}}{4}}+{\frac {4\varepsilon p^{3}}{8}},\qquad \varphi (p)={\frac {\delta }{2}}+\varepsilon p.$