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de tant d’observations qu’on voudra, soit nulle ou égale à une quantité donnée, lorsque le polynôme (30)

$\mathrm {A} x^{-\alpha }+\mathrm {B} x^{-\alpha +1}+\ldots +\mathrm {P} x^{-1}+\mathrm {Q} x^{0}+\mathrm {R} x^{1}+\ldots +\mathrm {V} x^{\beta }$

forme une série récurrente quelconque ; car alors la somme de cette série pourra s’exprimer, comme on sait, par une fraction rationnelle telle que

${\frac {\Xi }{(a-x)^{\lambda }(b-x)^{\pi }(c-x)^{\rho }\ldots }},$

$\Xi$ étant une fonction, rationnelle et sans diviseur, de $x\,;$ de sorte qu’en élevant cette quantité à une puissance quelconque, on aura toujours une expression qui pourra se rapporter à celles du Lemme ci-dessus.

Au reste, l’hypothèse la plus conforme à la nature est celle où l’on suppose que chaque observation soit sujette à toutes les erreurs comprises entre des limites données, en sorte que le nombre de toutes les erreurs possibles soit infini, comme dans les n^os 27 et 29 ; or, pour trouver en ce cas la probabilité que l’erreur moyenne d’un nombre quelconque d’observations soit aussi renfermée entre des limites données, il n’est pas nécessaire de considérer d’abord un nombre fini d’erreurs et de supposer ensuite que ce nombre devienne infini, comme nous l’avons pratiqué dans les numéros cités ; mais on peut y parvenir directement par une méthode beaucoup plus simple et plus générale, laquelle est fondée sur le Lemme suivant.

Lemme III.

34. Si $y$ dénote une fonction quelconque de $x,$ telle que ${\frac {d^{m}y}{dx^{m}}}$ soit une quantité constante, on aura

$\int ya^{x}dx=$

$a^{x}\left[{\frac {y}{\log a}}-{\frac {dy}{dx(\log a)^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{dx^{2}(\log a)^{3}}}-\ldots \pm {\frac {d^{m}y}{dx^{m}(\log a)^{m+1}}}\right]+\mathrm {const} .\,;$

c’est ce qui est aisé à vérifier par la différentiation.

35. Corollaire I. — Si i’on fait $y=x^{m},$ $m$ étant un nombre entier