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série résultante d’une fraction telle ${\frac {\mathrm {X} }{(a-x)^{m-1}}}$ peut s’exprimer par

${\frac {(-1)^{m-s-1}}{1.2.3\ldots (m-s-1)}}{\frac {d^{m-s-1}{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}}}}{dx^{m-s-1}}},$

en y faisant, après les différentiations, $x=a.$

Donc, en général, la fraction ${\frac {\mathrm {A} ^{s}\mathrm {X} }{(a-x)^{m-s}}}$ donnera pour le coefficient de $x^{\mu }$ la quantité

${\frac {(-1)^{s}}{1.2.3\ldots s}}{\frac {d^{s}{\cfrac {1}{(b-x)^{n}}}}{dx^{s}}}\times {\frac {(-1)^{m-s-1}}{1.2.3\ldots (m-s-1)}}{\frac {d^{m-s-1}{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}}}}{dx^{m-s-1}}},$

où il faut faire $x=a.$ Donc, puisque

$d^{m-1}yz=$

$yd^{m-1}z+(m-1)dyd^{m-2}z+{\frac {(m-1)(m-2)}{2}}d^{2}yd^{m-3}z+\ldots +zd^{m-1}y\,;$

il est facile de voir que les fractions

${\frac {\mathrm {AX} }{(a-x)^{m}}}+{\frac {\mathrm {A'X} }{(a-x)^{m-1}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {A} ^{(m-1)\mathrm {X} }}{a-x}},$

prises toutes ensemble, donneront pour le coefficient de $x^{\mu }$ la quantité

${\frac {(-1)^{m-1}}{1.2.3\ldots (m-1)}}{\frac {d^{m-1}{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}(b-x)^{n}}}}{dx^{m-1}}},$

$x$ étant fait égal à $a.$

De même les fractions

${\frac {\mathrm {BX} }{(b-x)^{n}}}+{\frac {\mathrm {B'X} }{(b-x)^{n-1}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {B} ^{(n-1)}\mathrm {X} }{b-x}}$

donneront pour le coefficient de $x^{\mu }$ la quantité

${\frac {(-1)^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {d^{n-1}{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}(a-x)^{m}}}}{dx^{n-1}}},$

$x$ étant fait égal à $b.$