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donnée dans l’hypothèse que les erreurs, auxquelles chaque observation est sujette, forment une progression arithmétique, et que les facilités de ces erreurs forment une progression algébrique quelconque, dont les différences d’un ordre quelconque deviennent nulles ; car soit

$\mathrm {A} x^{-\alpha }+\mathrm {B} x^{-\alpha +1}+\ldots +\mathrm {P} x^{-1}+\mathrm {Q} x^{0}+\mathrm {R} x^{1}+\ldots +\mathrm {V} x^{\beta }$

le polynôme dont les exposants de $x$ représentent les erreurs, et les coefficients, les facilités de ces erreurs ; qu’on dénote par $\mathrm {\Delta A,\Delta ^{2}A} ,\ldots$ les différences premières, secondes, …, de la série

$\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$

en sorte que

$\mathrm {\Delta A=B-A,\quad \Delta ^{2}A=C-2B+A} ,\ldots ,$

et qu’on dénote de même par $\mathrm {\Delta V,\Delta ^{2}V} ,\ldots$ les différences de la série

$\mathrm {V,X,Y} ,\ldots$

supposée continuée au delà de $\mathrm {V} ,$ on aura, comme on sait, pour la valeur du polynôme proposé, la série

$x^{-\alpha }\left[{\frac {\mathrm {A} -\mathrm {V} x^{\alpha +\beta +1}}{1-x}}+x{\frac {\Delta \mathrm {A} -\Delta \mathrm {V} x^{\alpha +\beta +1}}{(1-x)^{2}}}+\ldots \right].$

Or, si la série

$\mathrm {A,B,C,\ldots ,V,X} ,\ldots$

est telle que ses différences d’un ordre quelconque $m,$ par exemple, deviennent nulles, on aura

$\Delta ^{m}\mathrm {A} =0,\quad \Delta ^{m}\mathrm {V} =0,$

et toutes les différences ultérieures seront aussi zéro ; de sorte que l’expression précédente deviendra finie quand même le polynôme proposé contiendrait un nombre infini de termes ; de plus cette expression pourra se réduire à cette forme ${\frac {\Xi }{(1-x)^{m}}},$ $\Xi$ étant une fonction rationnelle et entière de $x\,;$ de sorte qu’en élevant cette quantité à une puissance quelconque, on aura toujours une expression qui sera dans le cas de celle du Lemme.