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sera égale à

${\frac {s''(s''+1)(s''+2)\ldots (s''+k)-(s'+1)(s'+2)\ldots (s'+k+1)}{k+1}}.$

Appliquant donc ceci à la formule trouvée plus haut, on aura, pour la probabilité que l’erreur moyenne tombe entre ${\frac {-p}{n}}$ et ${\frac {q}{n}},$ l’expression suivante, dans laquelle j’ai fait, pour abréger, $n\alpha -p=\delta$ et $n\alpha +q=\gamma ,$

${\frac {1}{1.2.3\ldots n\rho ^{n}}}$

${\begin{aligned}\times &{\biggl [}\gamma (\gamma +1)\ldots (\gamma +n-1)-(\delta +1)(\delta +2)\ldots (\delta +n){\biggr .}\\&\quad -n\left[(\gamma -\rho )\ldots (\gamma -\rho +n-1)-(\delta -\rho +1)\ldots (\delta -\rho +n)\right]\\&\quad +{\frac {n(n-1)}{2}}\left[(\gamma -2\rho )\ldots (\gamma -2\rho +n-1)-(\delta -2\rho +1)\ldots (\delta -2\rho +n)\right]\\&\quad {\biggl .}\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\biggr ]}.\end{aligned}}$

Cette série doit être continuée jusqu’à ce que quelqu’un des facteurs $\gamma -\rho ,$$\gamma -2\rho ,\ldots$ devienne négatif ; et quant aux autres facteurs $\delta -\rho +1,$$\delta -2\rho +1,\ldots ,$ si quelqu’un d’entre eux se trouve négatif, alors il faudra augmenter le nombre ⅞ d’autant d’unités qu’il faudra pour le rendre positif ; cela suit évidemment de ce que la série, dont la précédente est la somme, ne doit être continuée que jusqu’à ce que quelqu’un des premiers facteurs $\pi +1-\rho ,$$\pi +1-2\rho ,\ldots$ devienne négatif, comme nous l’avons vu dans le numéro précédent.

27. Corollaire. — Supposons que les nombres $\alpha$ et $\beta$ deviennent infinis, aussi bien que $p$ et $q,$ mais de façon qu’ils aient entre eux des rapports finis ; et soient

${\frac {\beta }{\alpha }}=l,\quad {\frac {p}{\alpha }}=r,\quad {\frac {q}{\alpha }}=s,$

en sorte que l’on ait

$\beta =\alpha l,\quad p=\alpha r,\quad q=\alpha s,$

$l,r,s$ étant des nombres finis ; dans ce cas on aura

$\rho =\alpha +\beta =(1+l)\alpha ,\ \ \delta =n\alpha -p=(n-r)\alpha ,\ \ \gamma =n\alpha +q=(n+s)\alpha \,:$