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Donc faisant, pour abréger,

$\mathrm {M} ={\frac {m^{m-1}-m(m-2)^{m-1}+{\frac {m(m-1)}{2}}(m-4)^{m-1}-\ldots }{1.2.3\ldots (m-1)}},$

on aura la quantité

$\mathrm {M} \left({\frac {\rho }{\sqrt {\pi }}}\right)^{m-1}{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}\mathrm {\left({\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}\right)} \rho ^{2}}}{\mathrm {\sqrt {ABC\ldots }} }},$

laquelle sera nécessairement moindre que la probabilité cherchée ; de sorte qu’en nommant $\mathrm {H}$ cette quantité, on pourra toujours parier avec avantage $\mathrm {H}$ contre $1-\mathrm {H}$ qu’en supposant les facilités des erreurs égales respectivement $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ on ne se trompera pas de la quantité très-petite ${\frac {\rho }{\sqrt {n}}}.$

Lemme I.

23. Soit $\mathrm {X}$ une fonction, rationnelle et sans diviseur, de $x\,:$ on demande le coefficient de la puissance $x^{\mu }$ dans la série résultante du développement de la fraction ${\frac {\mathrm {X} }{(a-x)^{n}}}.$

On a, comme on sait,

${\begin{aligned}{\frac {1}{(a-x)^{n}}}=&{\frac {1}{a^{n}}}+{\frac {nx}{a^{n+1}}}+{\frac {n(n+1)x^{2}}{2a^{n+2}}}+\ldots \\&={\frac {{\cfrac {1.2.3\ldots (n-1)}{a^{n}}}+{\cfrac {2.3\ldots nx}{a^{n+1}}}+{\cfrac {3.4\ldots (n+1)x^{2}}{a^{n+2}}}+\ldots }{1.2.3\ldots (n-1)}}\,;\end{aligned}}$

donc, si l’on ordonne la quantité $\mathrm {X}$ par rapport aux puissances de $x,$ en commençant par la plus haute, de manière que l’on ait en général

$\mathrm {X} =\mathrm {A} x^{\alpha }+\mathrm {B} x^{\alpha -1}+\mathrm {C} x^{\alpha -2}+\ldots +\mathrm {M} x^{\mu }+\mathrm {N} x^{\mu -1}+\ldots ,$

et qu’on multiplie cette série par celle qui exprime la valeur de ${\frac {1}{(a-x)^{n}}},$ il est facile de voir que le terme qui contiendra la puissance $x^{\mu }$ sera

${\frac {{\cfrac {1.2.3\ldots (n-1)}{a^{n}}}\mathrm {M} +{\cfrac {2.3\ldots n}{a^{n+1}}}\mathrm {N} +{\cfrac {3.4\ldots (n+1)}{a^{n+2}}}\mathrm {P} +\ldots }{1.2.3\ldots (n-1)}},$