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on aura la valeur de $\mathrm {Q}$ en mettant ces valeurs dans la même expression, et il est facile de voir qu’on aura

$\mathrm {Q=P} \left(1+{\frac {x}{\alpha }}\right)^{\alpha }\left(1+{\frac {y}{\beta }}\right)^{\beta }\left(1+{\frac {z}{\gamma }}\right)^{\gamma }\ldots .$

Donc, si l’on fait en général

$\mathrm {V} =\left(1+{\frac {x}{\alpha }}\right)^{\alpha }\left(1+{\frac {y}{\beta }}\right)^{\beta }\left(1+{\frac {z}{\gamma }}\right)^{\gamma }\ldots ,$

et que $\int \mathrm {V}$ dénote la somme de toutes les valeurs particulières de $\mathrm {V} ,$ en faisant varier $x,y,z,\ldots$ depuis $0$ jusqu’à $+r,$ et ayant soin que l’on ait toujours $x+y+z\ldots =0,$ la probabilité cherchée sera égale à $\mathrm {P} \int \mathrm {V} .$

Comme il n’est pas facile de trouver l’intégrale $\int \mathrm {V} ,$ surtout lorsqu’il y a plus de deux variables, on pourra se contenter de l’avoir d’une manière approchée ; pour cela, il n’y aura qu’à prendre une valeur moyenne de $\mathrm {V}$ et la multiplier par le nombre de toutes les valeurs particulières de $\mathrm {V}$ qui doivent entrer dans l’intégrale $\int \mathrm {V} ,$ et la difficulté ne consistera qu’à trouver ce nombre. Or, si l’on désigne par $m$ le nombre des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ il est facile de concevoir que le nombre dont il s’agit ne sera autre chose que le coefficient de $u^{0},$ c’est-à-dire le terme tout connu de la série qui représente la puissance $m$ du polynôme

$u^{-r}+u^{-r+1}+\ldots +u^{-1}+1+u+\ldots +u^{r-1}+u^{r}.$

Qu’on dénote ce terme par $\mathrm {T} ,$ et l’on aura, comme nous le démontrerons plus bas,

${\begin{aligned}\mathrm {T} &={\frac {(mr+1)(mr+2)(mr+3)\ldots (mr+m-1)}{1.2.3\ldots (m-1)}}\\-&m{\frac {\left[(m-2)r\right]\left[(m-2)r+1\right]\left[(m-2)r+2\right]\ldots \left[(m-2)r+m-2\right]}{1.2.3\ldots (m-1)}}\\+&{\frac {m(m-1)}{2}}{\frac {\left[(m-4)r-1\right]\left[(m-4)r\right]\left[(m-4)r+1\right]\ldots \left[(m-4)r+m-3\right]}{1.2.3\ldots (m-1)}}-\ldots .\end{aligned}}$