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On voit par là comment on peut connaître à posteriori la loi de la facilité de chacune des erreurs auxquelles un instrument peut être sujet.

21. Remarque I. — On a trouvé ci-dessus que la plus grande probabilité a lieu lorsque

$a={\frac {s\alpha }{n}},\quad b={\frac {s\beta }{n}},\quad c={\frac {s\gamma }{n}},\ldots ,$

de sorte que les valeurs de $a,b,c,\ldots$ sont les plus probables qu’on puisse supposer. Si on voulait savoir de plus quelle est la probabilité que ces mêmes valeurs ne s’écarteront pas de la vérité d’une quantité quelconque $\pm {\frac {rs}{n}},$ il n’y aurait qu’à mettre, dans l’expression générale de la probabilité (Problème précédent)

${\frac {\mathrm {N} a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots }{s^{n}}},$

au lieu de $a,b,c,$ les quantités ${\frac {s(\alpha +x)}{n}},\ {\frac {s(\beta +y)}{n}},\ {\frac {s(\gamma +z)}{n}},\ldots ,$ et, faisant successivement $x,y,z,\ldots$ égaux à $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots ,\pm r,$ en sorte cependant que l’on ait toujours $x+y+z+\ldots =0,$ à cause que (par hypothèse) $a+b+c+\ldots =s$ et $\alpha +\beta +\gamma +\ldots =n,$ on aura autant de probabilités particulières, dont la somme sera la probabilité cherchée.

Soit $\mathrm {P}$ la probabilité que l’on ait

$a={\frac {s\alpha }{n}},\quad b={\frac {s\beta }{n}},\quad c={\frac {s\gamma }{n}},\ldots \,;$

mettant ces valeurs dans l’expression précédente, on aura

$\mathrm {P} ={\frac {1.2.3\ldots n}{n^{n}}}{\frac {\alpha ^{\alpha }}{1.2.3\ldots \alpha }}{\frac {\beta ^{\beta }}{1.2.3\ldots \beta }}\ldots .$

Soit de plus $\mathrm {Q}$ la probabilité que l’on ait

$a={\frac {s(\alpha +x)}{n}},\quad b={\frac {s(\beta +y)}{n}},\quad c={\frac {s(\gamma +z)}{n}},\ldots ,$