et cette équation sera également l’intégrale de l’équation (E) et de l’équation (F) (nos 12 et 13) ; ce qui s’accorde avec ce qu’on a démontré dans le no 6.
15. Considérons maintenant en général l’équation
![{\displaystyle {\frac {dx}{\sqrt {X}}}={\frac {dy}{\sqrt {Y}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6535cb8acf3f9afd3e51e617ad53cd9807897f7b)
étant une fonction quelconque de
et
une fonction quelconque de
On aura d’abord les deux équations
![{\displaystyle {\frac {dt}{\mathrm {T} }}={\frac {dx}{\sqrt {X}}},\qquad {\frac {dt}{\mathrm {T} }}={\frac {dy}{\sqrt {Y}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f50963164c37ad7ddec95ea0e6ecb17751b865ef)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {T} ^{2}dx^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {X} ,\qquad {\frac {\mathrm {T} ^{2}dy^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {Y} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6810cf5cfab80b228b0152f38a93b7a7504c9e)
et différentiant, en faisant ![{\displaystyle dX=X'dx,\ dY=Y'dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc373f0488762f0ae95ad8d4b2d0cb656f14bd9c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2\mathrm {T} d\mathrm {T} dx+2\mathrm {T} ^{2}d^{2}x}{dt^{2}}}=&\mathrm {X} ',\\{\frac {2\mathrm {T} d\mathrm {T} dy+2\mathrm {T} ^{2}d^{2}y}{dt^{2}}}=&\mathrm {Y} '.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/370b98f1870f32afd65f8229ca88d5f72354cf1b)
Soit
![{\displaystyle x+y=p,\quad x-y=q,\quad d\mathrm {T} =\mathrm {M} dp+\mathrm {N} dq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/694bf0fe46f7f619661bdb3483919cb640f62f93)
on aura, en ajoutant les deux équations précédentes ensemble,
![{\displaystyle {\frac {2\mathrm {T} \left(\mathrm {M} dp^{2}+\mathrm {N} dpdq\right)+2\mathrm {T} ^{2}d^{2}p}{dt^{2}}}=\mathrm {X'+Y'} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/578d2037861843c19edea1f017c3ae370f1d3488)
Or
![{\displaystyle dpdq=dx^{2}-dy^{2}={\frac {(\mathrm {X-Y} )dt^{2}}{\mathrm {T} ^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0930e5407ca383391134bab3b7d23b148854f8aa)
donc, substituant cette valeur, on aura
![{\displaystyle {\frac {2\mathrm {T} \left(\mathrm {M} dp^{2}+\mathrm {T} d^{2}p\right)}{dt^{2}}}=\mathrm {X'+Y'} -\mathrm {\frac {2N(X-Y)}{T}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a29b047bd05d718ad5c2d573c9edc52b277f0263)
Maintenant, puisque
on aura
![{\displaystyle x={\frac {p+q}{2}},\qquad y={\frac {p-q}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0428535d777b4c3111f8ba0100122afeaa9afbc1)