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15. Corollaire. — De là il s’ensuit qu’on peut toujours regarder la quantité ${\frac {rc-b}{a+b+c}}$ comme l’erreur du résultat moyen, et qu’ainsi on peut prendre la même quantité pour la correction de ce résultat.

Lorsque $r=1$ et $c=b,$ comme dans l’hypothèse du Problème I, la correction du résultat moyen devient nulle ; elle le serait aussi, si l’on avait $b=rc\,;$ mais dans tous les autres cas elle sera d’autant plus grande que $rc$ différera davantage de $b.$

Problème V.

16. On suppose que chaque observation soit sujette à des erreurs quelconques données, et qu’on connaisse en même temps le nombre des cas où chaque erreur peut avoir lieu ; on demande la correction qu’il faudra faire au résultat moyen de plusieurs observations.

Soient $p,q,r.s,\ldots$ les erreurs auxquelles chaque observation est sujette, et $a,b,c,d,\ldots$ les cas qui peuvent donner ces erreurs, savoir $a$ le nombre des cas qui donneraient l’erreur $p,$ $b$ le nombre des cas qui donneraient l’erreur $q,$ et ainsi des autres ; il est clair, par ce que nous avons démontré dans les Problèmes précédents, que si l’on élève le polynôme

$ax^{p}+bx^{q}+cx^{r}+\ldots$

à la puissance $n,$ et qu’on dénote par $\mathrm {M}$ le coefficient de la puissance on aura

${\frac {\mathrm {M} }{(a+b+c+\ldots )^{n}}}$

pour la probabilité que l’erreur du résultat moyen de $n$ observations soit ${\frac {\mu }{n}}.$ Or on sait, par la théorie des combinaisons, que le coefficient $\mathrm {M}$ sera de cette forme

${\frac {1.2.3.4\ldots n\times a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots }{1.2.3\ldots \alpha \times 1.2.3\ldots \beta \times 1.2.3\ldots \gamma \times \ldots }},$

où les exposants $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ doivent être tels que

$\alpha +\beta +\gamma +\ldots =n\quad {\text{et}}\quad \alpha p+\beta q+\gamma r+\ldots =\mu .$