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réciproquement, si l’on augmente $\beta$ d’une unité, et qu’on diminue $\alpha$ aussi d’une unité, on trouvera la condition

${\frac {\alpha }{\beta +1}}{\frac {b}{a}}<1\,;$

ainsi il faudra que l’on ait en même temps

${\frac {\alpha }{\beta +1}}<{\frac {a}{b}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\alpha +1}{\beta }}>{\frac {a}{b}}.$

Or, c’est ce qui aura lieu si ${\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {a}{b}}.$

On trouvera de la même manière ${\frac {\alpha }{\gamma }}={\frac {a}{c}}\,;$ de sorte qu’en prenant un coefficient indéterminé $p,$ on aura, dans le cas du maximum,

$\alpha =pa,\quad \beta =pb,\quad \gamma =pc\,;$

mais $\alpha +\beta +\gamma =n\,;$ donc $p={\frac {n}{a+b+c}}\,;$ donc enfin

$\alpha ={\frac {na}{a+b+c}},\quad \beta ={\frac {nb}{a+b+c}},\quad \gamma ={\frac {nc}{a+b+c}}.$

Si les quantités ${\frac {na}{a+b+c}},\ {\frac {nb}{a+b+c}},\ {\frac {nc}{a+b+c}}$ sont des nombres entiers, on aura exactement

$\alpha ={\frac {na}{a+b+c}},\quad \beta ={\frac {nb}{a+b+c}},\quad \gamma ={\frac {nc}{a+b+c}}.$

comme nous venons de le trouver ; mais si ces quantités ne sont pas des nombres entiers, alors il faudra prendre pour $\alpha ,\beta ,\gamma$ les nombres entiers qui en seront les plus proches. On peut prendre cependant, pour plus de simplicité, ces mêmes quantités pour les valeurs de $\alpha ,\beta ,\gamma$ car l’erreur, s’il y en a, ne pourra jamais être que très-petite ; de cette manière nous aurons pour l’erreur moyenne qui a la plus grande probabilité, l’expression

${\frac {r\gamma -\beta }{n}}={\frac {rc-b}{a+b+c}}.$