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rendre la chose encore plus sensible » nous allons rechercher les probabilités que l’erreur ne surpassera pas la fraction en supposant successivement $n$ égal à 1,2,3,\ldots, c’est-à-dire pour une observation unique, pour deux, pour trois,\ldots, et nous aurons

${\begin{array}{lcccccc}n\ldots \ldots \ldots \ldots &1,&2,&3,&4,&5,&6,\ldots ,\\\mathrm {Probabilit{\acute {e}}} \ldots &{\cfrac {1}{3}},&{\cfrac {7}{9}},&{\cfrac {19}{27}},&{\cfrac {71}{81}},&{\cfrac {201}{243}},&{\cfrac {673}{729}},\ldots .\end{array}}$

ou bien, en réduisant au même dénominateur $729,$

${\begin{array}{lcccccc}n\ldots \ldots \ldots \ldots &1,&2,&3,&4,&5,&6,\ldots ,\\\mathrm {Probabilit{\acute {e}}} \ldots &{\cfrac {243}{729}},&{\cfrac {567}{729}},&{\cfrac {513}{729}},&{\cfrac {629}{729}},&{\cfrac {603}{729}},&{\cfrac {673}{729}},\ldots .\end{array}}$

On voit par là que la probabilité que l’erreur ne surpassera pas \frac{1}{2} va en augmentant, à mesure que l’on prend un plus grand nombre d’observations, mais avec cette différence que la probabilité est plus grande pour deux observations que pour trois, pour quatre que pour cinq, et en général pour un nombre pair quelconque que pour le nombre impair qui le suit immédiatement ; de sorte que, dans l’hypothèse dont il s’agit, il est plus avantageux de ne prendre le milieu qu’entre un nombre quelconque pair d’observations.

11. Remarque. — Nous avons vu dans le n^o 5 que si l’on développe la fraction $1-z\left[a+b\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right]$ en une série de cette forme,

$\mathrm {Z} +\mathrm {Z} '\left(x+{\frac {1}{x}}\right)+\mathrm {Z} ''\left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)+\ldots ,$

$\mathrm {Z,Z',Z''} ,\ldots$ étant des fonctions de $z,$ on aura

$\mathrm {Z} ={\frac {1}{p^{2}-q^{2}}},\quad \mathrm {Z} '={\frac {\beta q}{p^{2}}}={\frac {q}{p}}\mathrm {Z} ,\quad \mathrm {Z} ''={\frac {\beta q^{2}}{p^{3}}}={\frac {q}{p}}\mathrm {Z} ',\ldots ,$

$p$ et $g$ étant telles que

$p^{2}+q^{2}=1-az\quad {\text{et}}\quad pq=bz,$