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et, prenant les différentielles logarithmiques, on aura, après avoir divisé par ${\frac {dx}{x}},$

${\frac {nb\left(x-x^{-1}\right)}{a+b\left(x+x^{-1}\right)}}={\frac {\mathrm {B} \left(x-x^{-1}\right)+2\mathrm {C} \left(x^{2}-x^{-2}\right)+\ldots }{\mathrm {A} +\mathrm {B} \left(x+x^{-1}\right)+\mathrm {C} \left(x^{2}+x^{-2}\right)+\ldots }}\,;$

donc, multipliant en croix, il viendra

${\begin{aligned}nb\mathrm {A} &\left(x-x^{-1}\right)+nb\mathrm {B} \left(x^{2}-x^{-2}\right)+nb\mathrm {C} \left(x^{3}-x^{-3}-x+x^{-1}\right)\\&+nb\mathrm {D} \left(x^{4}-x^{-4}-x^{2}+x^{-2}\right)+\ldots \\=&a\mathrm {B} \left(x-x^{-1}\right)+2a\mathrm {C} \left(x^{2}-x^{-2}\right)+3a\mathrm {D} \left(x^{3}-x^{-3}\right)+\ldots \\&+b\mathrm {B} \left(x^{2}-x^{-2}\right)+2b\mathrm {C} \left(x^{3}-x^{-3}+x-x^{-1}\right)\\&+3b\mathrm {D} \left(x^{4}-x^{-4}+x^{2}-x^{-2}\right)+\ldots \,;\end{aligned}}$

de sorte qu’en comparant les termes, on aura

${\begin{aligned}nb(\mathrm {A-C} )&=a\mathrm {B} +2b\mathrm {C} ,\\nb(\mathrm {B-D} )&=2a\mathrm {C} +b(\mathrm {B+3D} ),\\nb(\mathrm {C-E} )&=3a\mathrm {D} +b(\mathrm {2C+4E} ),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

d’où, en faisant pour plus de simplicité ${\frac {a}{b}}=\mathrm {K} ,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {C} &={\frac {n\mathrm {A-KB} }{n+2}},\\\mathrm {D} &={\frac {(n-1)\mathrm {B-2KC} }{n+3}},\\\mathrm {E} &={\frac {(n-2)\mathrm {C-3KD} }{n+4}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ainsi, en connaissant les deux premiers termes $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ on pourra trouver successivement tous les autres.

10. Corollaire. — Supposons, comme dans le n^o 2, $a=b,$ en sorte que l’on ait $\mathrm {K} =1,$ et, faisant successivement $n$ égal à $1,2,3,\ldots ,$ et