![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} =&na^{n-1}b+{\frac {3}{1}}{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}a^{n-3}b^{3}\\&+{\frac {5.4}{1.2}}{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{2.3.4.5}}a^{n-5}b^{5}\\&+{\frac {7.6.5}{1.2.3}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-6)}{2.3\ldots 7}}a^{n-7}b^{7}+\ldots ,\\\\\mathrm {C} =&{\frac {n(n-1)}{2}}a^{n-2}b^{2}+{\frac {4}{1}}{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2.3.4}}a^{n-4}b^{4}\\&+{\frac {6.5}{1.2}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-5)}{2.3\ldots 6}}a^{n-6}b^{6}\\&+{\frac {8.7.6}{1.2.3}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-7)}{1.2\ldots 8}}a^{n-8}b^{8}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/083d3170f7159de5f32b5d89eee14b2e8fbbafdc)
Donc, si on appelle
le terme de la série
dont le quantième sera
il est facile de voir qu’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} =&{\frac {n(n-1)\ldots (n-\mu +1)}{1.2\ldots \mu }}a^{n-\mu }b^{\mu }\\&+{\frac {\mu +2}{1}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-\mu -1)}{1.2\ldots (\mu +2)}}a^{n-\mu +2}b^{\mu +2}\\&+{\frac {(\mu +4)(\mu +3)}{1.2}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-\mu -3)}{1.2\ldots (\mu +4)}}a^{n-\mu +4}b^{\mu +4},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79dc1078847584a4efd3af4bf4a7b60477cc22ad)
Or, ce terme
est le coefficient des puissances
et
de sorte qu’on aura
pour la probabilité que l’erreur soit
Ainsi, la probabilité que l’erreur ne surpassera pas
sera représentée par la série
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A+2B+2C+2D+\ldots +2M} }{(a+2b)^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e529af4a31b415be718d4c6c9e34399e2d810dc7)
Pour faciliter la recherche des valeurs de
il est bon de faire voir comment ces quantités dépendent les unes des autres ; pour cela, on reprendra l’équation
![{\displaystyle \left[a+b\left(x+x^{-1}\right)\right]^{n}=\mathrm {A} +\mathrm {B} \left(x+x^{-1}\right)+\mathrm {C} \left(x^{2}+x^{-2}\right)+\mathrm {D} \left(x^{3}+x^{-3}\right)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac89c8e698d94f642312cadbe24b37a33ccc073f)