seront aussi à très-peu près égales à
de sorte qu’on aura, dans cette hypothèse,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} ^{(n)}=&{\frac {\mathrm {P} ^{(n-1)}+(r-1)\mathrm {P} ^{(n-2)}}{r+1}},\\\mathrm {P} ^{(n+1)}&={\frac {\mathrm {P} ^{(n)}+(r-1)\mathrm {P} ^{(n-1)}}{r+1}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea3adff96179a595f72fb565f3cc64b4fd4346e)
d’où l’on voit que les quantités
etc., forment une suite récurrente dont le dénominateur de la fraction génératrice serait
![{\displaystyle x^{2}-{\frac {x}{r+1}}-{\frac {r-1}{r+1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ef53307790e126712e1899627c593c6b0b03a95)
ainsi, on aura en général
![{\displaystyle \mathrm {P} ^{(n+s)}=\mathrm {A} \left[{\frac {1+{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}\right]^{s}+\mathrm {B} \left[{\frac {1-{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}\right]^{s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccda52e31f5bba327be58e4c00ce09887e3e3a29)
et, pour déterminer les coefficients
et
on supposera que les termes
et
soient connus, ce qui donnera
![{\displaystyle \mathrm {P} ^{(n)}=\mathrm {A} +\mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a9ea369195a9912bb8216f862ab303593be7bf)
et
![{\displaystyle \mathrm {P} ^{(n+1)}=\mathrm {A} {\frac {1+{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}+\mathrm {B} {\frac {1-{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1dfe7f8d82748f63cd58da494b547c3ed565b5)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\frac {2(1+r)\mathrm {P} ^{(n+1)}-\left(1-{\sqrt {4r^{2}-3}}\right)\mathrm {P} ^{(n)}}{2{\sqrt {4r^{2}-3}}}},\\\mathrm {B} =&{\frac {\left(1+{\sqrt {4r^{2}-3}}\right)\mathrm {P} ^{(n)}-2(1+r)\mathrm {P} ^{(n+1)}}{2{\sqrt {4r^{2}-3}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/928d93b5f716145a1020946b43bb419c2b76da69)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} ^{(n+s)}&=\left[{\frac {\mathrm {P} ^{(n)}}{2}}+{\frac {2(1+r)\mathrm {P} ^{(n+1)}-\mathrm {P} ^{(n)}}{2{\sqrt {4r^{2}-3}}}}\right]\left[{\frac {1+{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}\right]^{s}\\&+\left[{\frac {\mathrm {P} ^{(n)}}{2}}-{\frac {2(1+r)\mathrm {P} ^{(n+1)}-\mathrm {P} ^{(n)}}{2{\sqrt {4r^{2}-3}}}}\right]\left[{\frac {1-{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}\right]^{s},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6bcef552873291c013e1b70eaaeab734d17f57a)
et cette formule sera d’autant plus exacte qu’on prendra le nombre
plus grand.