donc, multipliant par
et tirant la racine carrée, on aura
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {2n+1}{2}}}={\frac {2.4.6\ldots 2n}{1.3.5\ldots (2n-1)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e78f7cbb13990e175c567875c5ad85cda676300)
donc, lorsque
on aura
![{\displaystyle \mathrm {P} ^{(n)}={\frac {1}{\sqrt {n\pi }}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6130a9762073d7609b218729980f1188059ab735)
Il est bon de remarquer que, puisque nous avons trouvé dans le Corollaire cité pour la probabilité
l’expression
![{\displaystyle {\frac {1+n^{2}+\left[{\cfrac {n(n-1)}{2}}\right]^{2}+\left[{\cfrac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}\right]^{2}+\ldots }{4^{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d050cb8c9e0d37fb6c845fe34186f6d3035a5716)
on aura, en comparant cette expression avec la précédente, l’équation
![{\displaystyle 1+n^{2}+\left[{\cfrac {n(n-1)}{2}}\right]^{2}+\left[{\cfrac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}\right]^{2}+\ldots ={\frac {1.2.3\ldots (2n-1)}{1.2.3\ldots n}}2^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d21ffa324ebf449445e837f96d3eeeec321d0ae)
laquelle est d’autant plus remarquable qu’elle ne paraît pas aisée à démontrer à priori.
7. Remarque III. — Par les formules de la Remarque I, on aura en général
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} ^{(n)}=&{\frac {(2n-1)\mathrm {P} ^{(n-1)}+(n-1)(r-1)\mathrm {P} ^{(n-2)}}{n(r+1)}},\\\mathrm {P} ^{(n+1)}&={\frac {(2n+1)\mathrm {P} ^{(n)}+n(r-1)\mathrm {P} ^{(n-1)}}{(n+1)(r+1)}},\\\mathrm {P} ^{(n+2)}&={\frac {(2n+3)\mathrm {P} ^{(n+1)}+(n+1)(r-1)\mathrm {P} ^{(n)}}{(n+2)(r+1)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aa4f828f61dd7f00892c25938e985f037824494)
où les exposants
etc., de
ne dénotent pas des puissances, mais seulement le quantième du rang. Or, si
est un nombre assez grand, il est clair que les fractions
seront à très-peu près égalés à
et que les fractions ![{\displaystyle {\frac {n-1}{n}},{\frac {n}{n+1}},{\frac {n+1}{n+2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f409855f438492d973c7198d7d146b04cd70c7be)