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d’où

$\mathrm {A} '=(a+2b)\mathrm {P} ',\quad \mathrm {A} ''=(a+2b)^{2}\mathrm {P} '',\quad \mathrm {A} '''=(a+2b)^{3}\mathrm {P} ''',\ldots ,$

donc, substituant ces valeurs dans les formules précédentes et faisant, pour plus de simplicité, ${\frac {2b}{a}}=r,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} '\ \ &={\frac {1}{1+r}},\\\mathrm {P} ''\ &={\frac {3\mathrm {P} '+r-1}{2(1+r)}},\\\mathrm {P} '''&={\frac {5\mathrm {P} ''+2(r-1)\mathrm {P} '}{3(1+r)}},\\\mathrm {P} ^{\text{ıv}}&={\frac {7\mathrm {P} '''+3(r-1)\mathrm {P} ''}{3(1+r)}},\\\mathrm {P} ^{\text{v}}\,&={\frac {9\mathrm {P} ^{\text{ıv}}+4(r-1)\mathrm {P} '''}{5(1+r)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

6. Remarque II. — Si l’on fait $r=1,$ on aura le cas du Corollaire II, où $a=2b,$ et l’on trouvera

$\mathrm {P} '={\frac {1}{2}},\quad \mathrm {P} ''={\frac {1.3}{2.4}},\quad \mathrm {P} '''={\frac {1.3.5}{2.4.6}},\ldots ,$

et, en général,

$\mathrm {P} ^{(n)}={\frac {1.3.5\ldots (2n-1)}{2.4.6\ldots 2n}}.$

De là on voit que la probabilité diminue toujours à mesure que $n$ augmente, ce que nous avons déjà observé dans le Corollaire cité ; de sorte qu’en prenant $n=\infty ,$ la probabilité deviendra infiniment petite ou nulle ; en effet, par la quadrature de Wallis on a ( $\pi$ étant l’arc de $180$ degrés)

${\frac {\pi }{2}}={\frac {2.2.4.4.6.6\ldots }{1.3.3.5.5.7\ldots }},$

c’est-à-dire, en prenant $n=\infty ,$

${\frac {\pi }{2}}={\frac {2.2.4.4.6.6\ldots 2n.2n}{1.3.3.5.5.\ldots (2n-1)(2n-1)(2n+1)}}\,;$