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veloppe en série suivant les puissances de $z,$ on aura, comme on sait,

$1+z\left[a+b\left(x+x^{-1}\right)\right]+z^{2}\left[a+b\left(x+x^{-1}\right)\right]^{2}+\ldots ,$

de sorte que dans cette série le coefficient de $z^{n}$ sera la puissance $n$^ième de $a+b\left(x+x^{-1}\right)$ donc, si l’on nomme $\mathrm {A',A'',A'''} ,\ldots ,$ les valeurs de $\mathrm {A}$ qui répondent à $n=1,2,3,\ldots ,$ c’est-à-dire les termes sans $x$ des puissances $a+b\left(x+x^{-1}\right),\ \left[a+b\left(x+x^{-1}\right)\right]^{2},\ldots ,$ il est clair que la série $1+\mathrm {A} 'z+\mathrm {A} ''z^{2}+\mathrm {A} '''z^{3}+\ldots$ sera égale à la somme des termes sans $x$ de la fraction ${\frac {1}{1-z\left[a+b\left(x+x^{-1}\right)\right]}}$ développée suivant les puissances de $x$ et de $x^{-1}\,;$ de sorte que si l’on représente par

$\mathrm {Z+Z'} \left(x+{\frac {1}{x}}\right)+\mathrm {Z} ''\left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)+\ldots$

la série qui résulte du développement de cette fraction suivant les puissances de $x$ et de ${\frac {1}{x}}$ (car il est facile de voir que la série dont il s’agit doit avoir nécessairement cette forme), on aura

$\mathrm {Z} =1+\mathrm {A} 'z+\mathrm {A} ''z^{2}+\ldots ;$

ainsi, connaissant la fonction $\mathrm {Z} ,$ il n’y aura plus qu’à la réduire en série suivant les puissances de $z,$ pour avoir les quantités $\mathrm {A,A',A''} ,\ldots .$ Pour cela, je réduis d’abord le trinôme

$1-az-bz\left(x+x^{-1}\right)\quad {\text{en}}\quad (p-qx)\left(p-qx^{-1}\right),$

ce qui me donne

$p^{2}+q^{2}=1-az\quad {\text{et}}\quad pq=bz\,;$

ensuite, je réduis la fraction

${\frac {1}{(p-qx)\left(p-qx^{-1}\right)}}\quad {\text{en}}\quad \alpha +{\frac {\beta }{p-qx}}+{\frac {\beta }{p-qx^{-1}}},$

et je trouve

$\alpha ={\frac {1}{q^{2}-p^{2}}},\quad \beta ={\frac {p}{p^{2}-q^{2}}}\,;$